Свойства

 1)
 2)
 3)
 4)
 5) .

Все свойства очевидно следуют из определения.

Обозначим

и назовем ковариацией.

 6) Для независимых и

Обозначим

коэффициент корреляции при и

 7) ,
 8)
 9) если , то и – линейно зависимы,

Найдем оценку в виде . Пусть – оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка, т.е.

Найдем в классе линейных функций

Рассмотрим схему Бернулли с , ,

Определим случайные величины с , ; ; ; . Непосредственно проверяется, что независимы в совокупности. Положим и ; . Тогда

т.е. среднее значение частоты появления успеха совпадает с вероятностью успеха . А вот насколько числа близки ?

Для ответа воспользуемся неравенством Чебышева.

Теорема. Пусть – неотрицательная простая случайная величина на произвольном вероятностном пространстве . Тогда для любого