Доказательство. точки разбивают отрезок на отрезки длиной

точки разбивают отрезок на отрезки длиной ;

Покажем, что при

По формуле Стирлинга

Так как

то

и

Сложим эти выражения.

, следовательно,

следовательно,

что и требовалось доказать.

Заметим, что в условиях теоремы ограничение можно заменить на

Из локальной предельной теоремы вытекает интегральная предельная теорема для схемы серий Бернулли, или так называемая теорема Муавра-Лапласа.

Теорема. В предположениях локальной теоремы, ,

Заметим, что – так называемая плотность гауссовского или нормального распределения .

Доказательство. При таких, что по локальной теореме

Теорема доказана.

Заметим, что из теоремы Муавра-Лапласа следует закон больших чисел, так как

и, следовательно,

Рассмотрим схему серий Бернулли , с распределением

и пусть – функция .

Справедлива следующая теорема Пуассона:

Теорема. Пусть так, что .

Тогда для любого

где так называемое распределение Пуассона.

Доказательство.

Следовательно, для любого фиксированного
при больших

Однако

и

что и доказывает теорему.

Набор образует так называемое пуассоновское распределение, так как ; .

Рассмотрим понятия условных вероятностей и математических ожиданий относительно разбиений. Пусть – конечное вероятностное пространство и – некоторое разбиение , такое что , .

Для определена

Определение. Случайная величина определяется как

и называется условной вероятностью события относительно разбиения .

Свойства:

 1) при
 2) если , то
 3) , т.е. , т.е. формула полной вероятности.

Пусть – случайная величина со значениями в .

где ; разбиение – порождено случайной величиной .

Определение. – условная вероятность события при условии случайной величины .

Заметим, что .

Аналогично, если – случайные величины, – разбиение порожденное с атомами

Обозначим .

Определение. измерима относительно , если т.е. если

Теорема. Пусть – простая случайная величина, – простая случайная величина и . Пусть .

Тогда функция , такая, что .