Закон больших чисел Я. Бернулли

Доказательство.

следовательно,

Теорема доказана.

Следствия:

 1)

 2)

 3) .

(1700, опубликован в 1713).

Теорема. В схеме серий Бернулли ,

или в другой записи

Доказательство. По следствию к неравенству Чебышева

Теорема доказана.

Замечание. (рассуждения Бернулли).

и, следовательно,

Итак,

Но с какой скоростью? Обозначим

Справедлива следующая локальная предельная

Теорема. Пусть в схеме серий Бернулли . Тогда равномерно по всем таким, что

т.е.