Метод фазовой плоскости

– инструмент решения нелинейных д.у 1-го и 2- го порядков

dx/dt =F₁(x); d²x/dt² =F₂(x, dx/dt); (6.18)

F₁, F₂ – нелинейные функции

Обозначим x=x₁, dx₁/dt= х₂ (6.19)

1-е из (6.18):

х₂= F₁ (x₁); (6.20)

2-е из (6.18):

dx₁/dt= х₂

: dx₂/dt =F₂(x₁, x₂)

-------------------------

dx₂/d x₁ = F₂(x₁, x₂) / х₂ (6.21)

(6.21) можно преобразовать к виду

x₂ = Y(x₁) (6.22)

Динамическое состояние системы описывается в каждый момент времени кривой в системе координат x₁ и х₂ =dx₁/dt (рис. 6.5)

Рис. 6.5 фазовая плоскость

При определенных начальных условиях x₀₁, x₀₂ - фазовая траектория.

Совокупность фазовых траекторий на плоскости – фазовый портрет системы

Рис. 6.6 решение нелинейного д.у. (6.17)

dDf_пр/dt >0 àDf_пр увеличивается

dDf_пр/dt <0 àDf_пр уменьшается

в стационарном режиме Dw_пр =0, и d[Df_пр(t)]/dt, а Df_пр(t)= Df_ост

2p SуКд sin(Df_пр(t)) =Dw_с - установившийся режим (6.23)

sin(Df_уст(t)) =Dw_с/2p SуКд <1 статическая шибка

Dw_с = 2p SуКд критический режим (срыв), рис. 6.7 (6.24)

Рис. 6.7 критический режим (срыв)

Рис. 6.8 определение полосы захвата и полосы удержания

Полоса захвата и полоса удержания

DFу,з =2SуKд (6.25)

Выводы:

1. чем больше SуKд, тем шире DFу,з и меньше Df_ост;

2. при Dw_с>DWу - колебательный режим;

3. фазовый портрет объясняет отсутствие необходимости начальной согласованности знаков х-ки крутизны дискриминатора и управителя;

4. DFу = DFз - в системе без фильтра

Пример:

К(р)=1/рT+1, К(р)= рT₁+1/рT₂+1, T₁=R2C, T₂=(R1+R2)C (6.26)

Рис. 6.9 фильтры ФАПЧ

Рис. 6.10 Фазовый портрет ФАПЧ с фильтром

Рис. 6.11

Рис. 6.12 определение полосы захвата и полосы удержания

При фильтре RC

DFз =1,3 sqrt(DFу/T), DFу=2Кос (6.27)

При использовании пропорционально интегрирующего фильтра

DFу = DFз (6.28)