double arrow

Взаимное расположение прямых на плоскости


Пусть на плоскости заданы две прямые 1 и 2. Прямая 1 имеет уравнение

, (2.15)

а прямая 2 – уравнение

. (2.16)

Выясним, как по заданным уравнениям прямых 1 и 2 можно судить
об их взаимном расположении.

Возможны три случая:

1. Прямые 1 и 2 совпадают. Отсюда следует, что их нормальные векторы n1 = (А11) и n2 = (А22) коллинеарны. Тогда найдется такое число k, что n2 = kn1, т.е. А2 = kА1, В2 = kВ1. Любая точка прямой 1 (или 2) удовлетворяет каждому из уравнений (2.15) и (2.16), а значит, и уравнению

,

или

, (2.17)

которое получится, если из обеих частей уравнения (2.16) вычесть соответствующие части уравнения (2.15), умноженные на k. Но уравнение (2.17) имеет решение только в том случае, когда его свободный член равен нулю, т.е. С2=kС1.

Итак, условием совпадения прямых 1 и 2 является существование такого числа k, что А2 = kА1, В2 = kВ1, С2 = kС1, т.е. условие пропорциональности коэффициентов уравнений.

2. Прямые 1 и 2 не совпадают и параллельны. Как и в первом случае, отсюда следует, что их нормальные векторы коллинеарны, т.е. А2 = kА1, В2 = kВ1. Но теперь должно быть С2 ¹ kС1, иначе прямые 1 и 2 будут совпадать.

Итак, условием того, что прямые 1 и 2 параллельны, но не совпадают, является существование такого числа k, что




А2 = kА1, В2 = kВ1, С2 ¹ kС1.

3. Прямые 1 и 2 не параллельны, т.е. пересекаются в одной точке.
В этом случае их нормальные векторы n1 и n2 не коллинеарны. И обратно: если n1 и n2 не коллинеарны, то сами прямые 1 и 2 не параллельны.

Итак, условием того, что прямые 1 и 2 не параллельны и не совпадают, является неколлинеарность их нормальных векторов n1 и n2, т.е. .

Если прямые 1 и 2 не параллельны, их точку пересечения можно найти, решая систему уравнений (2.15), (2.16).

Пример. Исследовать взаимное расположение пар прямых. В случае пересечения прямых найти координаты точки пересечения:

а) , ; б) , ;

в) , .

○ а) Прямые и совпадают,
так как 6:9 = (–2):(–3) = 4:6.

б) Прямые и параллельны, но не совпадают, так как 6:9 = (–2):(–3) ¹ 4:5.

в) Прямые и не параллельны, так
как нормальные векторы n1 = (2,–3) и n2 = (1,–5) этих прямых не коллинеарны. Точку пересечения прямых находим в результате решения системы

Итак, прямые пересекаются в точке (–1,1). ●







Сейчас читают про: