Понятие об уравнениях плоскости и прямой в пространстве

Определение. Уравнением поверхности в пространстве Охуz называется такое уравнение между переменными х, у, z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Плоскость Р в пространстве можно задать некоторой ее точкой М₀(х ₀, у ₀, z ₀) и ненулевым вектором n = (А,В,С), перпендикулярным плоскости. Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве. Вектор n = (А,В,С) называется нормальным вектором плоскости.

Возьмем произвольную точку М(х,у,z). Точка М принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы и n ортогональны. Используя условие ортогональности векторов n = (А,В,С) и
= (,,), получаем, что точка М(х,у,z) принадлежит плоскости Р тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е.

А() + В() + С() = 0. (2.22)

Это и есть уравнение плоскости Р, так как ему удовлетворяют координаты х,у,z любой точки М, принадлежащей плоскости Р, и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой плоскости.

Уравнение плоскости, записанное в виде

А х +В у +С z +D =0 (2.23)

(где D = –А–В–Си ), называется общим уравнением плоскости и представляет собой уравнение первой степени относительно текущих координат х,у,z. Таким образом, плоскость есть поверхность первого порядка.

Пусть теперь дано уравнение (2.23), причем хотя бы один из коэффициентов А, В или С не равен нулю (). Выберем некоторую точку М₀(х ₀, у ₀, z ₀), лежащую на поверхности (2.23) (например, если А ≠ 0, то в качестве такой точки можно взять
М₀. Имеем

А+В+С+D = 0. (2.24)

Вычитая из уравнения (2.23) уравнение (2.24), получим уравнение

А()+В()+С() = 0, (2.25)

эквивалентное данному. Полученное уравнение (а значит, и уравнение (2.23)) совпадает с уравнением (2.22). Следовательно, поверхность, заданная уравнением (2.22), является плоскостью, проходящей через точку М₀(х ₀, у ₀, z ₀) перпендикулярно вектору n.

Если D = 0, то уравнение А х + В у + С z = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора
n = (А,В,С) Так, например, если А = 0, то уравнение В у +С z +D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох; если А = D = 0, то уравнение В у +С z = 0 определяет плоскость, проходящую через ось Ох; если А = В = 0, то уравнение С z + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Оху; если А = В = D = 0, то и уравнение С z = 0 (или z = 0) определяет координатную плоскость Оху.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов n ₁ = (А₁,В₁,С₁) и n ₂ = (А₂,В₂,С₂).

Условием параллельности двух плоскостей Р и Р¢ является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных

, (2.26)

Условием перпендикулярности плоскостей Р и Р¢ является равенство нулю скалярного произведения нормальных векторов этих плоскостей

.

Заметим, что если для плоскостей не выполнено условие (2.26), то эти плоскости не параллельны и не сливаются, т.е. являются пересекающимися.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, координаты которых удовлетворяют системе

Если прямая параллельна ненулевому вектору a = (m,n,p) (называемому направляющим вектором прямой) и проходит через точку М₁(х ₁, у ₁, z ₁), то ее уравнения могут быть получены из условия

коллинеарности векторов = (,,) (где М(х,у,z) – произвольная точка прямой) и a = (m,n,p): .