Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости дана точка М₀(х₀,у₀) и прямая , определяемая уравнением Ах+Ву+С = 0. Требуется определить расстояние d от точки М₀ до прямой (рис. 2.5.).

y M₀

n

M₁

x

Рис. 2.5

Расстояние от точки М₀ до прямой равно длине перпендикуляра М₀М₁, опущенного из точки М₀ на прямую , т.е. М₀М₁=d. Так как вектор n = (А,В) – нормальный вектор прямой , то векторы n и коллинеарны. Скалярное произведение этих векторов

()=,

откуда

=

и, учитывая, что , , получим

. (2.18)

Вектор имеет координаты (х ₀– х ₁, у ₀– у ₁), вектор n = (А,В), тогда

() = А(х ₀– х ₁)+В(у ₀– у ₁) = А х ₀+В у ₀ –А х ₁– В у ₁.

Так как точка М₁ лежит на прямой , то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, т.е. А х ₁+ В у ₁+С = 0 и С = –А х ₁– В у ₁.

Таким образом,

() = А х ₀+В у ₀+С. (2.19)

С учетом равенства (2.19) и того, что длина вектора , формулу (2.18) можно записать в виде

(2.20)

Формула (2.20) определяет расстояние от точки М₀ до прямой .

Пример. Даны уравнения сторон треугольника АВС: (АВ), (АС), (ВС). Найти длину высоты АD, проведенной из вершины А к стороне ВС.

○ Длину высоты АD треугольника можно вычислить как расстояние от точки А до стороны ВС. Точка А есть точка пересечения прямых АВ и АС, значит, координаты этой точки найдем, решая систему уравнений:

А(2;1).

Расстояние от точки А до прямой ВС вычислим по формуле (2.20)

. ●