Понятие матрицы

Матрицы и определители

Определение. Прямоугольная таблица

, (3.1)

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей
размера .

Величины , составляющие матрицу, называются элементами матрицы, при этом первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Элементами матрицы могут быть числа (числовая матрица), функции (функциональная матрица) или матрицы (блочная матрица).

Матрицу можно записывать также в сокращенном виде: , ; .

Матрица , состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица , состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Строки матрицы А будем рассматривать как -мерные векторы и обозначать их через А¹, А², …, А^m. Тогда матрицу А можно рассматривать как систему строк А = (А¹, А², …, А^m).

Столбцы матрицы А будем рассматривать как -мерные векторы. Обозначим их через А₁, А₂, …, А_n. Тогда матрицу А можно рассматривать как систему столбцов А = (А₁, А₂, …, А_n).

Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: , ; . Очевидно, что матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие столбцы или равны их соответствующие строки.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В матрице (3.1) поменяем местами строки и столбцы. В результате получим матрицу

, (3.2)

которая называется транспонированной по отношению к
матрице А. Если размеры матрицы А равны , то размеры транспонированной матрицы А^Травны . Повторное транспонирование приводит к исходной матрице: (А^Т)^Т=А.

В том случае, когда (число строк равно числу столбцов),

,

матрица называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей порядка .

Упорядоченная совокупность элементов называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы удовлетворяют условию т.е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали; матрица в этом случае имеет вид

.

При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1:

.

Квадратная матрица называется симметричной, если равны ее элементы, симметричные относительно главной диагонали,
т.е , . Диагональная и единичная матрицы являются симметричными. Транспонирование симметричных матриц не меняет их вида, так что равенство А = А^Ттакже можно принять за определение симметричной матрицы.

Квадратная матрица А порядка называется матрицей треугольного вида, если ее элементы удовлетворяют условиям

в этом случае матрица А имеет вид:

. (3.3)

Матрицу А размера будем называть матрицей ступенчатого вида, если в каждой следующей строке первый слева отличный от нуля элемент стоит правее, чем первый слева отличный от нуля элемент в предыдущей строке:

, где . (3.4)