Скалярное произведение векторов. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

Линейные операции над векторами в координатах

тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

×= ïïïïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) ×= ïï²;

2) ×= 0, если ^или = 0 или = 0.

3) ×= ×;

4) ×(+) = ×+ ×;

5) (m)×= ×(m) = m(×); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

×= x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

.

Пример. Найти (5+ 3)(2- ), если

10×- 5×+ 6×- 3×= 10,

т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3- 2)×(5- 6), если

15×- 18×- 10×+ 12×= 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17:

.

cosj =

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.