Плоскость. Способы задания плоскости

Способы задания плоскости

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. прямой и точкой вне ее;

3. двумя пересекающимися или параллельными прямыми;

4. точкой и вектором, перпендикулярным плоскости;

5. многоугольником.

Задание плоскости a точкой A и вектором , перпендикулярным плоскости a содержит наименьшую, но достаточную информацию о положении плоскости – всего 6 чисел: координаты точки A и вектора .

Векторное уравнение плоскости можно получить в виде скалярного произведения , где – радиус-вектор произвольной точки M плоскости a, а – вектор, принадлежащий плоскости a и ортогональный вектору . Выразив множители скалярного произведения через их компоненты, получим:

Это линейное относительно координат x, y, z уравнение можно преобразовать в виду

(1)

Если плоскость задана тремя точками (x_A, y_A, z_A), (x_B, y_B, z_B), (x_C, y_C, z_C), то уравнение плоскости можно получить, подставляя эти точки в уравнение (1).

нормализуя относительно d, получим

или

или , откуда

.

Поскольку объем вычислений во многих алгоритмах машинной графики растет с увеличением числа многоугольников, то для описания плоскостей выгодно использовать многоугольники с больше чем тремя сторонами. Эти многоугольники могут быть как невыпуклыми, так и неплоскими. Рассмотрим метод, позволяющий найти как точное решение для уравнений плоскостей, содержащих плоские многоугольники, так и наилучшее приближение для неплоских многоугольников. Этот метод эквивалентен определению нормали в каждой вершине многоугольника посредством векторного произведения прилежащих ребер и усреднения результатов:

Где если i=n, то j=1, иначе j=i+1, а d вычисляется с помощью любой точки на плоскости d = –(ax_i+by_i+cz_i). Для получения лучших результатов для неплоских многоугольников можно вычислить усредненное значение d по всем точкам.