Точные методы

Классификация методов

Решение систем линейных уравнений.

Точные методы позволяют для любых систем линейных уравнений Ах=В в принципе найти точные значения переменных. Но при использовании этих методов может появиться накапливающаяся вычислительная ошибка (не алгоритмическая!). В результате значения переменных могут быть получены с некоторой погрешностью. При высоких порядках системы погрешность может оказаться значительной. Ошибка в вычислениях неизбежно приводит к ошибке в результате. Для контроля вычислительной ошибки применяют специальные приемы.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Метод сводится к двум этапам. 1 этап – приведение исходной системы уравнений с помощью эквивалентных преобразований к системе с верхней треугольной матрицей (к треугольному виду). 2 этап – последовательное нахождение всех переменных системы, начиная с последней..

Затем можно найти невязки δ=В-Ах и вычислить поправки ε к полученным значениям переменных, решив систему уравнений Аε= δ.

Метод Крамера заключается в нахождении значений переменных с помощью определителей

ЗАДАЧА 3.1.

Решить систему уравнений Ах=В методами Гаусса и Крамера

РЕШЕНИЕ.

1) Приведем систему к треугольному виду.

Найдем приближенные корни: x₃=3; x₂=2,02; x₁=0,97

Вычислим невязки: δ₁=3∙0,97+2∙2,02+2∙3 – 13 = 0,05; δ₂=0; δ₃=0,02

Решив систему Аε= δ, получим: ε₁=0,03; ε₂=-0,02; ε₃=0,00014

Уточненные решения: x₃=3; x₂=2,02-0,02=2; x₁=0,97+0,03=1

2) Вычислим определители системы и найдем корни по методу Крамера.