Аппроксимация

Задание 4.3.

Функция задана таблично:

Найти у(0,58) и оценить погрешность.

Метод сплайнов заключается в нахождении функции (сплайна), которая состоит из ряда полиномов, своих для каждого интервала. Полиномы соседних интервалов стыкуются так, чтобы функция была непрерывной. Т.е. строится система уравнений, в которой значения функций для каждого интервала в узлах интерполяции совпадают. Дополнительными условиями для поиска коэффициентов полиномов является непрерывность нескольких производных. Например, кубический сплайн склеивается из полиномов третьей степени, которые для i-го участка записываются так:

Аппроксимация – построение приближённой функции, наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает, когда в исходных данных существует погрешность или желательно упростить сложную математическую зависимость.

Для решения задач аппроксимации важно выбрать критерий близости.

Метод наименьших квадратов базируется на квадратичном критерии аппроксимации: , где y_i - заданные табличные значения функции; y_i^расч – расчетные значения по аппроксимирующей функции; β _i – весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i -точки. Если все точки равнозначны, то все весовые коэффициенты равны 1.

В качестве расчётной аппроксимирующей функции можно выбрать полином
k -степени:

Коэффициенты полинома можно найти из условия минимума R, т.е. dR/da_p=0 для p=0,1,2, …, k

После преобразований получим систему уравнений, по которой можно определить коэффициенты полинома, обеспечивающие наилучшее квадратичное приближение:

ЗАДАЧА 4.4. Найти аппроксимирующую функцию в виде линейного полинома по имеющимся экспериментальным данным.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА.

ДАНО. n – число экспериментальных данных, (x_i,y_i) – экспериментальные точки.

НАЙТИ. Линейный аппроксимирующий полином f(x)=a₀+a₁ x

СВЯЗЬ.

ПРИМЕЧАНИЕ. Чем больше степень полинома, тем точнее аппроксимирующая функция. Но с повышением точности растёт и сложность функции, что делает её менее удобной в использовании.

Задание 4.4. Найти линейную функцию, аппроксимирующую следующие данные.