Свойства средней арифметической величины

1. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое либо произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2. Если каждую варианту увеличить (уменьшить) на какое либо произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на это же число.

3. Если все частоты разделить или умножить на какое либо произвольное число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

4. Средняя величина, умноженная на численность всей совокупности, будет равна сумме произведений каждого варианта на его численность.

5. Сумма отклонений вариант от их средней арифметической равна нулю.

Средняя хронологическая:

Средняя хронологическая предназначена для определения средней величины моментного ряда.

Структурные (непараметрические) средние применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Мода – значение признака, которое наиболее часто встречается в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю арифметическую из двух серединных значений.

Мода интервального ряда распределения с равными интервалами:

,

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

− частота модального интервала;

− частота интервала, предшествующего модальному;

− частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это значение признака, которое находится в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Медиана интервального ряда распределения:

,

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

− сумма частот;

− накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

− частота медианного интервала.

Для определения медианного интервала необходимо рассчитать сумму накопленных частот. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем данное значение и исчисляются путем последовательного прибавления к частоте первого интервала частот последующих интервалов.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части – квартели, на пять равных частей – квинтели, на десять частей – децели, на сто частей – перцентели.

Графическое определение моды и медианы

Мода и медиана могут быть определены графически.

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого строят на оси абсцисс ряд сомкнутых прямоугольников, у каждого из которых основанием служит величина интервала признака, а высотой – частота каждого интервала. Правую вершину прямоугольника, имеющего наибольшую высоту, соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину прямоугольника имеющего наибольшую высоту – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой.

Медиана определяется по кумуляте, которую строят по накопленным частотам. Для этого из верхней границы каждого интервала на оси абсцисс восстанавливают перпендикуляр, соответствующий по высоте накопленной частоте с начала ряда по данный интервал. Последовательное соединение вершин перпендикуляров позволяет получить кривую, называемую кумулятой.

Из точки на оси ординат, соответствующей половине всех частот (порядковому номеру медианы), проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой, из которой опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.