Наращение по сложной процентной ставке. Сумма в 700 тыс. руб. помещена в банк на депозит на 4 месяца под 12 % годовых

Решение

Пример

Сумма в 700 тыс. руб. помещена в банк на депозит на 4 месяца под 12 % годовых. Найти сумму в конце срока, если ежемесячно начисляются простые коммерческие проценты.

Из условий задачи следует, что первоначальная сумма P = 700 000, годовая процентная ставка i = 0,12, срок ссуды m = 4. Тогда доля года t = m / 12 = 4 / 12 = 1 / 3 ипо формуле (4.2.2) получим сумму вклада через четыре месяца

S = P (1 + t∙i) = 700 000 (1 + 0,12/3) = 728 000 руб.

Процентные деньги I = P∙n∙i = 700 000∙0,04 = 28 000 руб. определяют вознаграждение, получаемое вкладчиком.

Расчет сумм по сложной процентной ставке заключается в том, что за каждый период процентные деньги начисляются от всей накопленной к этому моменту суммы. Этот вариант расчета иногда называют капитализацией или реинвестированием. Обозначим:

P – первоначальная сумма,

i – процентная ставка,

n – срок,

S – наращенная сумма, т. е. сумма долга в конце срока.

Пусть срок ссуды n – целое число лет. Тогда по истечении срока ссуды кредитор получает сумму

S = P (1 + i) ⁿ. (4.2.3)

Пустьтеперь срок ссуды t выражается в долях года. Обобщая формулу (4.2.3), сумму долга рассчитывают по формуле

S = P (1 + i) ^t. (4.2.4)

Замечание. Последовательность накопленных на депозите сумм по сложной процентной ставке образует возрастающую геометрическую последовательность с первым членом P (1 + i) и знаменателем (1 + i). В то время как для схемы простых процентов последовательность накопленных на депозите сумм образует возрастающую арифметическую последовательность с первым членом P (1 + i) и разностью P∙i.

Пусть годовая процентная ставка равна j и период начисления – m раз в году. Следовательно, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Формула наращения будет иметь вид

. (4.2.5)