Признак бесконечного множества решений СЛУ

Если СЛУ приведена к трапецеидальному виду (например,

то система трапецеидального вида имеет бесконечное множество решений.

Для нахождения общего решения нужно:

1. Выбрать базисные неизвестные , число которых равно числу уравнений в трапецеидальной системе. Коэффициенты при базисных неизвестных в трапецеидальной системе образуют определитель, не равный нулю. Тогда свободные неизвестные – это остальные неизвестные (Заметим, что базисные неизвестные выбираются не единственным способом.).

2. В трапецеидальной системе перенести в правую часть уравнений слагаемые со свободными неизвестными. Тогда в левой части получится выражение треугольного вида.

3. Найти выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные с помощью обратного хода Гаусса.

4. Записать общее решение системы. Если необходимо, из общего решения можно найти частные решения, придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя базисные неизвестные.

Пример 2. Решить систему уравнений методом исключения неизвестных.

Решение

Составим расширенную матрицу , которая состоит из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Элементарные преобразования, проводимые над уравнениями, соответствуют элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы.

Неизвестные будут базисными, т.к. определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не равен нулю:. Тогда - свободная неизвестная.

Перенесем слагаемые с в правую часть уравнений:

Применим обратный ход Гаусса. Выразим из последнего уравнения базисную неизвестную :

.

Из предпоследнего уравнения найдем базисную неизвестную :

Из первого уравнения найдем базисную неизвестную :

Запишем общее решение системы:

, где

Найдем несколько частных решений, придавая свободной неизвестной произвольные значения.

Пусть , тогда , тогда частное решение .

Пусть , тогда , тогда частное решение , и т.д.