Подходы Лагранжа и Эйлера

КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

Часть механики, в которой рассматриваются общие свойства движения тел, без выяснения причин его возникновения, называется кинематикой.

В кинематике жидкости и газа изучается положение частиц жидкости и газа в пространстве в зависимости от времени. По образному выражению Жуковского кинематика есть геометрия движения. Размерности сил в кинематических уравнениях отсутствуют.

Принципиальное отличие кинематики жидкости от кинематики абсолютно твердого тела состоит в том, что при движении жидкости расстояние между двумя частицами не сохраняется, так как жидкости и газы являются деформируемыми средами.

Поскольку в кинематике фактически рассматриваются геометрические свойства движения жидкости, то ее выводы справедливы для любой жидкости, как вязкой, так и твердой.

Способ Лагранжа состоит в изучении движения в пространстве каждой индивидуальной жидкой частицы (мы как бы следим за частицей)

Существует два метода изучения движения частиц – метод Лагранжа и метод Эйлера.

х = х (а, в, с, t),

y = y (а, в, с, t),

z = z (а, в, с, t),

где a, b, c - это координаты начального положения частицы. Они называются также переменными Лагранжа.

Данный подход применяется весьма редко, например, при исследовании течения в проточной части турбин и т.д.

Подход Эйлера состоит в изучении движения в отдельных фиксированных точках или областях пространства, через которые движется жидкость.

В этом случае все элементы движения рассматриваются как функции координат и времени, например

Подход Эйлера в сочетании с гипотезой сплошности дает большие возможности для использования различных математических методов исследования течения.

В настоящем курсе мы будем пользоваться только методом Эйлера.

Линия тока – гипотетическая линия в пространстве, в каждой точке которой в данный момент времени векторы скоростей различных частиц жидкости направлены по касательной к этой линии.

3.2.Линии тока (векторная линия векторного поля скорости)

Если рассматривать движение жидкой частицы во времени, то

линия, по которой двигалась частица в некоторый промежуток времени, называется траекторией (это как бы след движения частицы).

Для стационарного движения линии тока и траектории совпадают, при нестационарном движении они отличаются друг от друга.

Образно говоря, когда речь идет о линии тока, то это как бы мгновенное фото, а если речь идет о траектории – то это как бы киносъемка. В случае линий тока реализуется подход Эйлера, а в случае траектории – подход Лагранжа.

а) приведем пример, когда линии тока и траектории не совпадают.