Уравнения Эйлера и Эйлера-Лагранжа

При решении задачи поиска оптимального управления функционал качества можно записать в виде:

или

Если дать приращение координатам состояния (проварьировать их), то изменится значение функционала качества. Причем варьирование координат производится так: направление меняется произвольно в классе гладких функций на интервале , , а граничные значения функции должны оставаться постоянными, т.е. совпадать.

Вместо координат и подставляем эти значения в подынтегральную функцию функционала качества

Тогда

Найдем приращение функционала качества при варьировании аргументов

Вариационная формула представляется в виде ряда Тейлора:

Т.к. вариации аргументов и малы, то вторые и высшие производные в этом разложении отбрасывают

Линейную часть приращения функционала называют первой вариацией функционала и обозначают

Необходимым условием существования экстремума функционала качества является равенство нулю его первой вариации

В этом выражении проинтегрируем по частям второе слагаемое:

Полученное выражение подставляем в выражение для

Т.е. для того, чтобы , необходимо, чтобы:

Если переменных много, то

– уравнение Эйлера.

Если функционал качества зависит от управления, можно дописать:

– система уравнений Эйлера, решив которую находят управление.

Кривые изменения координат состояния, при которых получаются экстремумы функционала качества, называются экстремальными.

Систему уравнений Эйлера можно использовать тогда, когда координаты состояния и управления являются непрерывными гладкими функциями и не имеют ограничений типа неравенств.

Если управление выбирается из класса разрывных функций и на управление наложено ограничение в виде неравенств и на координаты состояния наложено ограничение самим уравнением ОУ, то задача сводится к поиску условного экстремума функции многих переменных. В этом случае координаты состояния и управления, связанные уравнением объекта, не могут варьироваться независимо. В этом случае составляют функцию Лагранжа и систему уравнений Эйлера, но только для функции Лагранжа, т.е. подынтегральная функция функционала другая.

Задача формулируется следующим образом:

Определить оптимальное управление, обеспечивающее экстремум функционала качества, в котором координаты состояния и управления связываются уравнением объекта в виде уравнений состояния.

Функционал:

;

Подынтегральная функция функционала качества должна быть непрерывной по всем переменным и должна иметь непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. При использовании системы уравнений Лагранжа подынтегральная функция функционала качества записывается следующим образом:

– функция Лагранжа

– уравнение связи, которое накладывается на и .

Для определения оптимального управления составляется система уравнений Эйлера для функций Лагранжа. Эта система называется системой уравнений Эйлера-Лагранжа.

Решение задачи усложняется тем, что неизвестны начальные значения множителей Лагранжа и чтобы удовлетворять заданным значениям конечного и начального состояния и приходится многократно решать уравнения вариационной задачи, задаваясь различными значениями .

Уравнения вариационной задачи могут быть записаны в канонической (гамильтоновой) форме.

Система уравнений Эйлера.

Новые канонические переменные:

Вместо подынтегральной функции функционала качества записывают функцию Гамильтона:

Тогда система уравнений:

На основании уравнений Эйлера:

Тогда система уравнений для решения вариационной задачи:

Или в общем виде:

Для общей задачи Лагранжа

Тогда функцию Гамильтона при решении задачи с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа запишем:

а система уравнений будет выглядеть следующим образом:

(из нее находится , а потом )

Если решается задача с помощью системы уравнений Эйлера-Лагранжа, то -функцию можно не использовать.

Пример:

Определить оптимальное управление для объекта, заданного следующей передаточной функцией:

в процессе перевода его из начального положения , в конечное состояние , обеспечивающее минимум функционала качества:

, причем коэффициенты и положительны.

Решение:

1. Запишем уравнение объекта в форме Коши

2. Составим функцию Лагранжа

Поскольку ограничение координат задается всегда уравнением объекта

3. Составляем систему уравнений Эйлера-Лагранжа

Эти два уравнения дополняются уравнением объекта

Для определения нужно определить корни этой системы уравнений.

Для этого составляем матрицу:

Уравнение ОУ первого порядка. Должен быть один корень. Из условий устойчивости выбираем отрицательный корень. Тогда решение системы уравнений принимает вид:

– постоянная интегрирования, которая определяется по заданным начальным условиям объекта;

– определяется значением , а оно неизвестно.

Для определения подставим в найденное выражение для и в уравнение объекта:

Подставим в выражение для

Это говорит о том, что оптимальное управление изменяется по такому же закону как и выходная координата объекта, следовательно, оптимальное управление является функцией фазовых координат: