Решение.
,
,
,
,
,
.
Отсюда .
Определение. Функцией Эйлера называется функция , определенная на множестве N, значения которой равны числу k натуральных, может быть, и составных целых чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n, т.е..
Для n=1 полагают . Знаком обозначается наибольший общий делитель натуральных чисел a и b. Взаимно простыми называются числа, наибольший делитель которых равен единице. Например, натуральные числа 5 и 7 взаимно просты, т.к. (5,7)=1.
Функция Эйлера аналитически выражается следующим образом:
, (1)
где к – есть число простых делителей qi числа n, i=1;2;…;k.
Чаще функция Эйлера записывается в другом виде
. (2)
Посчитаем значения для n=1;2;…;10. Разложим в таблице1 числа с 1 до 10 на простые делители.
Таблица 1
1=11 | 6=2131 |
2=21 | 7=71 |
3=31 | 8=23 |
4=22 | 9=32 |
5=51 | 10=2151 |
1. по определению.
2. , (1,2)=1. Это число1.
3. , (1,3)=1; (2,3)=1. Два числа не превосходят 3 и взаимно просты с числом 3; это числа 1 и 2.
4. , (1,4)=1; (3,4)=1. Это числа 1 и 3.
5. , (1,5)=1; (2,5)=1; (3,5)=1; (4,5)=1. Четыре числа удовлетворяют условию существования функции Эйлера. Это числа 1,2,3,4.
6. , (1,6)=1; (5,6)=1. то числа 1 и 5.
7. , (1,7)=1; (2,7)=1; (3,7)=1; (4,7)=1; (5,7)=1; (6,7)=1. Значения функции Эйлера в этом случае равно шести, т.к. шесть чисел удовлетворяют условию существования функции Эйлера. Это числа 1,2,3,4,5,6.
8. , (1,8)=1; (3,8)=1; (5,8)=1; (7,8)=1. Значение функции Эйлера равно четырем. Это числа 1,3,5,7.
9. , (1,9)=1; (2,9)=1; (4,9)=1; (5,9)=1; (7,9)=1; (8,9)=1. Это числа 1,2,4,5,7,8.
10. , (1,10)=1; (3,10)=1; (7,10)=1; (9,10)=1. Это числа 1,3,7,9.
Функция Эйлера для первых десяти значений аргумента может быть задана как в табл.2.
Таблица 2
n | ||||||||||
Свойства функции Эйлера:
1. Если , то .
Пример. (3,7)=1, то ,
.
2. .
Пример. Возьмем n=8; n=23,
.
3. .
4. , где d – различные делители числа n.
Пример. Если n=10=2151, то .
Выражение означает, что суммирование ведется по всем делителям числа10
т.е. .
5. , где
Пример. x=3; x=7.
Решение.
Или , то .