Определения. Часть 2. Определенный интеграл

Часть 2. Определенный интеграл

2.1. Интеграл Римана

Определение интеграла Римана. Критерий интегрируемости.

Пусть функция f (x) определена на [ a,b ]. Разбиением отрезка [ a,b ] называется набор точек D={ a=x ₀< x ₁ <…< x_n=b }. Обозначим через x набор промежуточных точек для D, x = {x _k }, x _kÎ [ x_k,x_{k+ 1}], k= 0,1, …,n - 1. Интегральной суммой для f, D и x называется выражение

Величина l(D)= (x_k+1 - x_k) называется характеристикой разбиения D, точки x_k называются узлами разбиения. Если промежуточные точки x = {x _k } выбраны для данного разбиения D(т.е. x _k Î[ x_k,x_{k +1}]), то мы будем это обозначать знаком принадлежности xÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f, D,x) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется определенным интегралом от функции f на отрезке [ a,b ] и обозначается

=.

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$ J "e>0$d>0:(l(D)<d,xÎD) Þ | s(f, D,x) - J|< eили

$ J " e >0$d>0"D,l(D)<d,"xÎD: | s(f, D,x) - J|< e.

Функция f (x), для которой существует интеграл, называется интегрируемой (по Риману) на данном отрезке.

Пусть функция f (x)интегрируема на [ a,b ]. Выберем последовательность разбиений, с равноотстоящими узлами =a+ k, k= 0,1 ,…,m. Тогда. Для каждого из этих разбиений будем считать заданным некоторый набор промежуточных точек, например, можно выбирать средние точки. Полученную таким образом последовательность интегральных сумм

s ^m = s(f, D ^m, x ^m) = будем называть стандартной последовательностью интегральных сумм.

Из определения интеграла следует, что

=

Таким образом, если функция интегрируема и s ^m ее стандартная последовательность интегральных сумм, то

= =.

В качестве последовательности, реализующей значение интеграла можно брать суммы, где промежуточные точки совпадают с левыми или правыми концами отрезков разбиения. Например, для левых концов

=.

Формулы вычисления интегралов подобного вида называются квадратурными формулами.

Пример 1. Частный случай. Если функция f интегрируема на[0,1], то

=.

Пример 2. Вычислить предел.

Суммы является интегральными для функции на отрезке при выборе промежуточных точек, как в предыдущем примере, поэтому

. В дальнейшем появятся формулы для вычисления интегралов. В нашем случае будет.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена.

Доказательство. Предположим противное, функция f (x)не ограничена на отрезке [ a,b ]. Тогда найдется последовательность t ^mÎ [ a,b ], сходящаяся и такая, что. Пусть e =1 для него

$d>0:(l(D) < d,xÎD) Þ | s(f, D,x) - J|< 1,

где. Таким образом, если рарбиение D имеет характеристику l(D) < d, то интегральная сумма s(f, D,x)ограничена | s(f,D,x)|, не зависимо от выбора промежуточных точек. С другой стороны любую интегральную сумму s(f, D,x) можно сделать сколь угодно большой, выбрав подходящим образом лишь одну из промежуточных точек, полагая ее равной соответствующему члену последовательности. Полученное противоречие завершает доказательство.