Вычисление интегралов от элементарных дробей

Метод неопределенных коэффициентов

Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q (x), т.е. Q (x) = (x-a)^a Q ₁(x), Q ₁(a)¹0,a³ 1. Тогда существует A и многочлен P ₁(x) такие, что

,

где - правильная дробь.

Доказательство: Рассмотрим разность (где A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P (x) и AQ ₁(x)меньше порядка знаменателя.Положим, тогда для числителя число a будет корнем и = (x-a) P ₁(x). Если это выражение поделить на Q (x), то получиться требуемое равенство.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и z=u+iv (v ¹0 ) – комплексный корень многочлена Q (x), т.е. Q (x) = (x ² +px+q)^b Q ₁(x), Q ₁(z)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P ₁(x) с вещественными коэффициентами такие, что

,

где - правильная дробь.

(без доказательства).

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по попарно простым корням

a ₁ ,a ₂ ,…,a_r,z ₁ ,z ₂ ,…,z_s, (x - z_k)(x -) =x ² +p_kx+q_k

кратностей a₁ ,…, a _r, b₁ ,…, b _s. Тогда дробь P (x)/ Q (x) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. В этом представлении каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей вида, а каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей.

Другими словами существуют вещественные числа, такие, что справедлива формула

= +…+ + +…+ (1.1)

Доказательство. По лемме 1

.

Таким образом, у второго слагаемого кратность корня a ₁в знаменателе понижена на единицуи к применяем лемму 1 еще раз. Повторяя эту процедуру нужное число раз, мы получим последнее слагаемое, знаменатель которого не будет иметь своим корнем a ₁.

=+.

Точно также поступаем с остальными действительными корнями знаменателя.

= +…+ +.

У последнего слагаемого знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

Для нахождения коэффициентов разложения (1.1) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.

Пример.,

,

1 = A (x ² + 4 x+ 4) +B (x ² +x -2) +C (x - 1) откуда,

A=-B, 3 A+C= 0, 6 A-C= 1, A= 1/9, B= -1/9, C= -1/3.

I. Дроби вида.

для a¹1 и.

II. Дроби вида.

1) b = 1

, где u=x+p /2, a ² =q - p ²/4.Далее ln (u ² +a ² )+С.

+C.

2) b> 1.

Рассмотрим интегралы вида. Интегрируя по частям, получим

= =

= =.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

,, или окончательно

позволяющее вычислять последовательно интегралы J_n, последующий по предыдущему.

Пример. Вычислить интеграл. Далее И окончательно получим.

1.3 Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование простейших иррациональностей. Дифференциальные биномы. Интегрирование трансцендентных функций.