Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

Интегралы вида

Через R (u,v,…,w)здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Дифференциал от рациональной функции равен рациональной функции, умноженной на дифференциал независимого переменного.

Пример. Выражение можно представить в виде, где.

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены, m – общий знаменатель дробей a,…,g (берут наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей).

Пример. Свести интеграл к интегралу от рациональной функции. В этом примере, наименьшее общее кратное m= 18и, следовательно, надо сделать замену, откуда находится. После чего находится. Интеграл такой заменой будет сведен к интегралу от рациональной функции: =.

1.3.2.Интегралы вида. Подстановки Эйлера

a) a > 0,

В этом случае ax ² +bx+c=ax ² + 2 xt+t ², откуда –рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

= R ₁(t)- рациональная функция от t. Кроме того, dx=, где - также некоторая рациональная функция.

b) Корни x ₁, x ₂квадратного трехчлена ax ² +bx+c вещественные, тогда.

Если x ₁ = x ₂, то = | x – x ₁ | и иррациональность отсутствует. Если x ₁ ¹ x ₂, то полагают и задача сводится к ранее рассмотренной.

. Наличие модуля приводит лишь к тому, что потребуется рассматривать два случая: и.

В случае вещественных корней x ₁, x ₂можно так же сделать замену.

c) c >0

. Тогда ax ² +bx+c= x²t²+2 xt+ с, ax+b= xt ² + 2 t,

- рациональная функция. После замены получим

= R ₁(t) - рациональная функция от t, dx=R ₂(t) dt.

Этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи. Действительно, если a <0и c <0и действительных корней нет, то выражение ax²+bx+c= < 0для всех x и область определения выражения пуста.

1.3.3. Интегрирование дифференциальных биномов m, n, p – рациональные числа.

Сделаем замену x=, x^m (a+bxⁿ) ^pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt) ^p t^q=R (t, t^q ).

б) q – целое (a+bt) ^p t^q=R (t, (a+bt) ^p).

в) p+q – целое (a+bt) ^p t^q=

a) sin x, cos x) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка, x=2 arctg t,

sin x =, cos x =. Иногда к цели быстрее ведут подстановки t= sin x, t= cos x,.

б) sin ^mx cos ⁿx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x (или t = cos x), cos x =, dt = dx, тогда

sin ^mx cos ⁿx dx =. Точно также для областей интегрирования, где.

в) Интегралы вида cosb x dx, sinb x dx, arccosb x dx,,

arcsinb x dx, arctgb x dx, arcctgb x dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям.

а) Дифференциальные биномы

(a+bxⁿ) ^px^m, когда не является целой ни одна из трех дробей p,, +p.

б) Интеграл.

в) Интегралы вида, где - многочлен степени 3, 4 в ряде случаев не выражается через элементарные функции (эллиптические интегралы). В частности, следующие интегралы не являются элементарными функциями

,, 0 <k< 1;

или (после замены)

,.