Предварительные сведения из алгебры многочленов

Интегрирование по частям

Если u (x), v (x)– дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x) v¢ (x) dx, тогда существует и интеграл du и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям).

Доказательство. Пусть dv = F (x) +C. Тогда функция uv – F будет первообразной для, что можно проверить дифференцированием:. Можно было продифференцировать левую и правую части и убедится, что получится одна и та же функция.

Пример. Для интеграла x dx выберем функции: v (x) = ln x, u (x) = x, тогда

x dx =x ln x - = x ln x – x + C.

1.2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные. Метод неопределенных коэффициентов.

а) Если a вещественный корень многочлена, то существует единственное представление многочлена в виде

P (x) =, a ³ 1,и - многочлен, причем.

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P (a) = P¢ (a) =…= P ^(a-1)(a)=0, P ^(a)(a)¹0.

Доказательство этого свойства следует из формулы Тейлора для многочлена. Действительно, пусть. Очевидно, что все производные этого многочлена, начиная с порядка, будут тождественно равны нулю. Поэтому разложение функции по формуле Тейлора в точке будет иметь вид (остаток в форме Лагранжа тождественно равен нулю)

.

Если число является корнем многочлена и - порядок первой отличной от нуля производной, то

= =,.

б) Если z = u + i v, v ¹0комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения:,, для действительного числа x справедливо равенство. Поэтому, если z корень многочлена P (x) = a ₀ +…+a_kx^k+…+ a_nxⁿ, то = = = = P ().

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P (x) = (x ² +px+q) ^b , b ³ 1, Q (z)¹0,

(x - z)(x -)=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)² +v ² =x ²-2 ux+u ² +v ² = x ² +px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где A – старший коэффициент многочлена, a ₁ ,a ₂ ,…, a_r - действительные корни кратностей a ₁ ,a ₂ ,…, a_r, а z ₁ ,z ₂ ,…, z_s комплексные корни кратностей b₁,b₂ ,…, b _s. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x²+p_kx+q_k= (x - z_k)(x -).

Определение. Рациональная функция (отношение двух многочленов)) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

R (x) – называется целой частью, а дробь P ₁/ Q ₁ – остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример: Выделить целую и дробную часть

Таким образом,