Определения. Глава 1. Интегральное исчисление

Глава 1. Интегральное исчисление

§1. Первообразная, неопределенный интеграл

Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).

Примеры:

1) f(x)=0,F(x)=C (Const), X=(-¥,¥)

2) f(x)=a (Const),F(x)=a x+C, X=(-¥,¥)

3) f(x)=cos x,F(x)=sin x+C, X=(-¥,¥)

4) f(x)=1/x,F(x)=ln x+C, X=(0,¥)

5) f(x)=1/x,F(x)=ln |x|+C, X=(-¥, 0)

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то F₁ =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если F₁, F- первообразные для f, то F₁ =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа).

Пример. Функции F₁= ln |x| и F₂=ln|x| + sign x имеют общую производную f(x)=1/x на множестве X=(-¥,0)È(0,¥), в то время, как их разность sign x не являются константой на X. Таким образом, условие: «X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множества связное.

Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

Таким образом, если F – первообразная для f на X, то

= F(x)+C на X

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла буква x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=j(t), то можно написать

F(j(t))+C =,