Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)^aQ₁(x), Q₁(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P₁(x) такие, что

,

где- правильная дробь.

Доказательство: Рассмотрим разность (где A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ₁(x) меньше порядка знаменателя.Положим , тогда для числителя число a будет корнем и =(x-a)P₁(x). Если это выражение поделить на Q(x), то получиться требуемое равенство.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и w=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x²+px+q)^bQ₁(x), Q₁(w)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P₁(x) с вещественными коэффициентами такие, что

,

где- правильная дробь.

(без доказательства).

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по парно простым корням

a₁,a₂,…,a_r,w₁,w₂,…,w_s, (x-w_k)(x-)=x²+p_kx+q_k

кратностей a₁,…,a_r,b₁,…,b_s. Тогда дробь P(x)/Q(x) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. Каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей вида , а каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей .

Другими словами существуют вещественные числа , такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (*)

Доказательство. По лемме 1

.

Таким образом, у второго слагаемого кратность корня a₁ в знаменателе понижена на единицуи к применяем лемму 1 еще раз. Повторяя эту процедуру нужное число раз мы получим последнее слагаемое, знаменатель которого не будет иметь своим корнем a₁.

= +.

Точно также поступаем с остальными действительными корнями знаменателя.

=+…++ .

У последнего слагаемого знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.