Предварительные сведения из алгебры многочленов. а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде

а) Если a вещественный корень многочлена, то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x – a)^a P₁(x), a³1, P₁(a)¹0.

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P¢(a)=…= P^(a-1)(a)=0, P^(a)(a)¹0.

б) Если w = u + i v, v¹0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения: , , для действительного числа x справедливо равенство . Поэтому, если w корень многочлена P(x) = a₀+…+a_kx^k+…+ a_nxⁿ, то === P().

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x²+px+q)^b P₁(x), b³1, P₁(w)¹0,

(x - w)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)²+v²=x²-2ux+u²+v²= x²+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где A – старший коэффициент многочлена, a₁,a₂,…, a_r - действительные корни кратностей a₁,a₂,…, a_r, а w₁,w₂,…, w_s комплексные корни кратностей b₁,b₂,…, b_s. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x²+p_kx+q_k=(x - w_k)(x - _k).

Определение. Рациональная функция (отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

R(x) – называется целой частью, а дробь P₁/Q₁ – остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример: