Аддитивная и мультипликативная форма записи

Доказательство.

Следствие. Если элемент a имеет симметричный элемент а’ относительно ассоциативной операции , то все левые и все правые симметричные к а элементы совпадают с элементом а’.

Наиболее часто используется аддитивная и мультипликативная формы записи бинарной операции. При аддитивной форме записи бинарную операцию называют сложением и пишут а + b вместо a b, называя элемент a + b суммой a и b. Элемент, симметричный элементу а, обозначают (- а) и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают символом 0 и называют нулевым элементом относительно сложения. При аддитивной записи свойства ассоциативности и коммутативности записывается в виде

a + (b + c) = (a + b) + c, a + b = b + a.

При мультипликативной форме записи бинарную операцию называют умножением и пишут a b (вместо а b), называется элемент a b произведением а и b. Элемент, симметричный а, обозначают а^-1 и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через e и 1 и называют единичным элементом или единицей относительно умножения. При мультипликативной записи свойства ассоциативности и коммутативности записываются в виде a (b c)=(a b) c, a b = b a.

Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения записываются в виде (a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b.