Моделирование процессов движения тел в среде

При модели­ровании процесса движения тела, прежде всего, целесообразно рассмотреть традиционные для школьного курса физики дина­мические модели, но с учетом сопротивления среды. Это сво­бодное падение тела, полет тела, брошенного под углом к гори­зонту, движение тела с переменной массой. При этом составля­ющие силы сопротивления можно рассмотреть предварительно, перед изучением конкретных моделей либо в ходе построения одной из моделей.

Более детально обсудим методику построения компьютерных математических моделей физических процессов и их последую­щего исследования на примере нескольких задач.

Первая из них - моделирование свободного падения тела сучетом сопротивления среды. Основная дидактическая роль этой наиболее простой задачи - практическое знакомство с этапами компьютерного математического моделирования, освоение этих этапов, приобретение навыков формулирования и разрешения; учебных проблем, проблемных ситуаций. Несмотря на то, что на первый взгляд она является простой, при ее исследовании придется решить ряд серьезных проблем, о чем будет сказано ниже.

В ходе обучения обязательно придется пользоваться понятиями «предел» и «производная». Понятие «предел» не вызывает существенных затруднений; в контексте данного обсуждения вполне достаточно интуитивного понимания предела, сформированного у учащихся к X классу.

Не совсем так обстоит дело с понятием «производная». Возможны две ситуации:

1. учащиеся вполне владеют понятием и дифференциальная а записи второго закона Ньютона (и последующих при решении конкретных задач дифференциальных уравнений) будет им понятна (при этом никакой техники дифференцирования, тем более решения дифференциальных уравнений, не требуется);

2. учащиеся не знакомы с этим понятием; в этом случае необходимо сделать математическое отступление и пояснить понятие «производная», на что, как показывает опыт, вполне достаточно одного урока.

Другая методическая проблема, которую необходимо решить, - строить модели динамических процессов в виде дифференциаль­ных или конечно-разностных уравнений. Как показывает прак­тика, учащиеся физико-математических классов вполне способны воспринять дифференциальные уравнения и численные ме­тоды их решения. Для этого достаточно ввести дифференциальные уравнения и объяснить простейшие численные методы их реше­ния, базируясь на физическом и геометрическом смысле произ­водной.

При использовании численных методов интегрирования диф­ференциальных уравнений разумно рассмотреть явные схемы не­высокого порядка (не выше второго); если кто-либо из учащихся проявит интерес именно к методам решения систем дифферен­циальных уравнений и их устойчивости, то следует предложить им самостоятельно изучить литературу, где излагаются явные ме­тоды более высокого порядка либо неявные схемы. Такой подход подтвердил свою жизнеспособность.

При изучении динамических процессов в менее подготовлен­ной аудитории рекомендуется ограничиться конечно-разностными Уравнениями. Любую модель из рассмотренных ниже можно сфор­мулировать в конечно-разностном виде, вообще не упоминая о Дифференциальных уравнениях (примеры далее приводятся).