Лекция 3. Постановка основной задачи теории расписаний

Постановка основной задачи теории расписаний. Случай одной машины.

Предмет теории расписаний - это составление календарных планов, оптимальных относительно того или иного критерия. Задачи теории рас-писаний с точки зрения программирования - это всегда те или иные задачи упорядочения.

Проиллюстрируем простым примером специфику этих задач.

Пусть на некотором производственном участке имеется два

станка - Т1 и Т2, - на которых изготавливаются три детали - Д1, Д2 и Д3, причем каждая сначала обрабатывается на станке Т1, а затем на станке Т2. Время обработки каждой детали на каждом станке известно и задается следующей таблицей (будем считать, что все - в часах):

станок\деталь	Д1	Д2	Д3
Т1
Т2

Если детали запустить на обработку в последовательности Д2, Д1, Д3 (т.е. сначала - Д2, потом - Д1, а потом - Д3), то весь производственный процесс закончится через 8 часов, а если эти же детали запустить на эти же станки в последовательности Д3, Д1, Д2, то весь производственный процесс закончится только через 11 часов.

Существуют различные способы изображать расписания в подобных

задачах; все они включают, как правило, серьезный графический элемент для наглядности (Гант-карты, ленточные графики и т.д.)

Обратимся к первому классу задач теории расписаний, который приня-то называть задачи для одной машины.

Итак, имеется одна машина, на которой производятся работы в той или иной последовательности - работы из множества ; пусть - фактическая продолжительность выполнения i -ой работы, - начало и конец фактического выполнения работы (так что ), - директивное время выполения i -ой работы (т.е. время, в течение которого работы должна быть выполнена по плану), - стоимость ожидания в единицу времени i -ой работы.

Перерывы в выполнении работ не допускаются.

Пусть ; это - задержка i -ой работы по сравнению с директивным временем на производственном участке. Положим

;

это - суммарный штраф за простой при выполнении работ по тому или иному плану. Пусть, далее,

;

это - максимальный среди работ штраф за простой. Чем он меньше, тем равномернее издержки, доставляемые работами.

Наконец, пусть

;

это - сумма штрафов, связанных с ожиданием работ в системе.

Часто фиксируют величину

-

суммарное время выполнения всех работ.

Приведенные выше три критерия - F₁, F₂ и F₃ - являются наиболее распространенными в рассмотрениях расписаний для одной машины. В каждом конкретном случае задача состоит в том, чтобы подобрать такую последовательность выполнения работ, чтобы соответствующий критерий обратился в минимум.

Можно доказать следующее утверждение:

пусть работы занумерованы так, что

;

тогда, если их запустить на исполнение в порядке возрастания номеров, то критерий F₃ обратится в минимум.

Можно доказать также, что действия по нижеследующему алгоритму приводят к минимуму критерия F₂:

Шаг 0. Находим .

Шаг 1. Среди всех еще неупорядоченных работ находим такую работу l, что

где , причем минимум вычисляется только по множеству еще неупорядоченных работ.

Шаг 2. Работу l назначают последней к исполнению среди еще неупоря-доченных работ и исключают из рассмотрения. Если множество оставшихся работ пусто, то процесс упорядочения закончен. Если множество оставшихся работ непусто, заменим T на и переходим к Шагу 1.

Заметим, в заключение, что относительно критерия F₁ в общем случае неизвестен алгоритм, отличный от прямого перебора возможностей.