Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)

Предыдущие выкладки показывают, что если - какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть

то

(21.20)

будет оригиналом, имеющим изображение .

В частности, если все полюсы - простые, то

; ,

и для оригинала, имеющего изображение , получим формулу

(21.21)

Заметимеще, что если

(21.22)

то соответствующим оригиналом будет

(21.23)

Таким образом, нахождение оригинала по заданному рациональному изображению сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Пример 21.1. Найти оригинал , имеющий изображение

.

Разложим это изображение на простейшие дроби:

.

Первое слагаемое в полученном изображении можно умножить и разделить на 2: , т.к. при и . Учитывая формулу (1.8), запишем оригинал этого изображения:

≒.

Второе слагаемое представим в виде: , которое соответствует виду изображения (21.22) - , при , , и . Учитывая формулу (21.23), запишем оригинал этого изображения: ≒.

Таким образом, окончательный вид оригинала, соответствующий исходному изображению, будет:

≒.

Пример 21.2. Найти оригинал , имеющий изображение .

Рассмотрим два метода.

1. Разложение изображения на сумму изображений.

Представим исходное изображение в виде суммы простых дробей

С учетом того, что

≒ t^m, то при m = 1, будем иметь ≒ t и ≒1;

≒, то при α = -1, будем иметь ≒ e^-t.

Следовательно, изображение имеет оригинал вида t -1+ e^-t, т.е.

≒ t -1+ e^-t.

2. Разложение изображения на произведение изображений.

Обозначим

≒ e^-t = f ₁ (t) и ≒ t = f ₂ (t).

Применив формулу Дюамеля ≒ , получим

≒

Следовательно, изображение имеет оригинал вида t -1+ e^-t, т.е.

≒ t -1+ e^-t.

Пример 21.3. Найти оригинал , имеющий изображение .

Обозначим

≒= f ₁ (t) и ≒ e^t = f ₂ (t).

Применив формулу Дюамеля ≒ , получим

≒

Следовательно, изображение имеет оригинал вида , т.е.

≒.