Оригиналы с рациональными изображениями
1. Изображения степенных и показательных функций. При степенная функция является оригиналом с нулевым показателем поста, причем
,
что при положительных значениях равно (после замены на t)
(21.6)
Необходимо отметить, что в силу теоремы единственности, которая гласит: если в области даны две аналитические функции, совпадающие на множестве точек, имеющем хотя бы одну предельную точку, лежащую в области , то эти две функции тождественно равны, изображение и правой часть равенства (21.6) аналитичны в полуплоскости Rе , следовательно, совпадая в положительных точках, они совпадают на всей полуплоскости Rе (заметим, что степенные функции комплексного переменного многозначны при нецелых , но, рассматривая их на полуплоскости Rе , мы всякий раз имеем в виду те их ветви, которые происходят от ветвей , совпадающих для положительных с ). Итак,
≒ () (21.7)
Так, при
≒ (21.8)
и, в частности, при
1≒ (21.9)
Из (21.8) по правилу смещения изображений (1.2 свойство 9 - ≒) находим при любом целом неотрицательном и любом комплексном l
≒ (21.10)
и, в частности, при
≒ (21.11)
2. Изображения тригонометрических и гиперболических функций. В силу (21.10) имеем:
≒ (21.12)
≒ (21.13)
≒ (21.14)
≒ (21.15)
Из (21.12) и (21.13) по правилу подобия (1.2, свойство 3 - ≒ ) находим:
≒(21.16)
≒(21.17)
откуда по правилу смещения изображений (1. 2, свойство 9 - ≒ )
≒
(21.18)
≒
(21.19)