Свертка оригиналов

Теорема. При свертывании оригиналов изображения перемножаются, т.е. если ≒и ≒, то ＊ ≒ .

Доказательство. Для простоты мы имеем в виду лишь непрерывные на оригиналы. Учитывая формулу (19.4), достаточно показать, что

при .

Пусть ≒и ≒,тогда, если Rе больше показателей роста и , то

,

что при , что и требовалось доказать.

Пример. Найти свертку и , где , . Делая в интеграле подстановку и учитывая формулы

и ,

где и – гамма-функции, или эйлеровы интегралы 2-го рода, которые определяются для положительных значений независимых переменных и формулами:

и ,

＊

и, в частности, при целых неотрицательных ,

и

Следовательно, искомая свертка имеет вид

＊.

Формула Дюамеля. Пусть - непрерывный на оригинал, - непрерывно дифференцируемая на функция такая, что есть оригинал. Из ≒и ≒следует:

≒

Из правила дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, следует, что левая часть непрерывно дифференцируема на , причем

Отсюда в силу свойства 4 (см. 21.2) [дифференцирование оригинала ] получаем искомую формулу Дюамеля

≒ (21.5)