Использование преобразования Лапласа при решении уравнений в частных производных

Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Лекция 22. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

В случае, когда требуется найти решение неоднородного уравнения

, (22.1)

удовлетворяющего начальным условиям:

, (22.2)

где любые заданные числа, то для нахождения частного решения уравнения (22.1) можно воспользоваться преобразованием Лапласа.

Найдем сначала изображение решения . С этой целью возьмем изображения обеих частей уравнения (22.1), применив к ним преобразование Лапласа и, используя правило дифференцирования оригинала (свойство 4). При этом получим уравнение линейное относительно :

Разрешим это уравнение относительно . Собрав все члены, содержащие , и перенеся остальные члены в правую часть, получим

, (22.3)

где

Необходимо отметить, что коэффициент при есть не что иное, как характеристический полином для однородного линейного уравнения, соответствующего уравнению (22.1). Поэтому уравнение (22.3) можно записать в виде:

. (22.4)

Это уравнение называется изображающим уравнением или операциьнным уравнением для задачи Коши (22.1), (22.2).

Из уравнения (22.4) находим изображение искомого решения

. (22.5)

Восстанавливая по изображению (22.5) оригинал (например, по табл. 1), получим искомое решение .

Пример 22.1. Найти решение уравнения: , удовлетворяющее начальным условиям:

Возьмем изображение обеих частей исходного уравнения. Если оригиналу соответствует изображение , что записывается следующим образом – , то можно использовать правило дифференцирования оригинала. В нашем случае в левой части исходного уравнения мы имеем сам оригинал и его вторую производную . Представим изображение

≒,

тогда изображение левой части исходного уравнения будет иметь вид:

+ у(х) ≒ ,

а изображение правой части, которое можно взять из таблицы оригиналов и изображений (табл.1) будет выглядеть так

≒.

Поэтому изображающим или операторным уравнением будет уравнение

. (П22.1.1)

По таблице оригиналов и изображений (табл.1) устанавливаем, что функция (П22.1.1) является изображением функции с точностью до множителя (-1/2). Поэтому искомым решением исходной задачи Коши будет

.

Пусть функция f(t) удовлетворяет следующим условиям:

1) f(t) кусочно непрерывна на отрезке [0, а ] для любого a > 0;

2) f(t) = 0 при t < 0;

3) существуют числа М > 0 и s ₀ ≥ 0 такие, что .

Тогда преобразованием Лапласа функции f(t) называется функ­ция

где р = s + iσ; обозначение: f(t)= F(p).

Очевидно, преобразование Лапласа существует, если s > s ₀ (при этом несобственный интеграл сходится).

Основными свойствами преобразования Лапласа являются:

1) линейность, т. е. , где С ₁и С ₂— постоянные;

2) преобразование частных производных по такому правилу: если u = u (x,t) и преобразование Лапласа проводится по переменной t (t ≥ 0), то, обозначив

можно (интегрированием по частям) установить соотношения при определенных условиях на функцию u (x,t) и ее частные произ­водные

Таким образом, преобразование Лапласа заменяет операцию дифференцирования по временной переменной t умножением. Этот важ­ный факт используется при решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Рассмотрим теперь, как применяется преобразование Лапласа к решению гиперболических задач.

Пример 22.2. Начиная с момента t = 0 к концу х = 0 полубесконечной изолированной электрической линии подключе­на э.д.с. E(t). Найти напряжение u(x,t) для t > 0 в линии, если начальное напряжение и начальный ток в ней равны нулю, для слу­чаев, когда:

а) линия без потерь (R = G = 0);

б) линия без искажения (RC = LG).

Решение случая а).

Математическая постановка задачи для случая а) имеет вид

здесь L и С — соответственно индуктивность и емкость единицы длины провода.

Применим преобразование Лапласа по временной переменной t к левой и правой частям дифференциального уравнения с частными производными. Тогда, учитывая, что

Из исходного уравнения получим обыкновенное дифференциальное уравнение

с граничными условиями

(второе граничное условие следует из физических соображений).

Итак, имеем граничную задачу

Общее решение нашего уравнения есть

,

где С ₁и С ₂— произвольные постоянные. Сразу отметим, что нужно полагать С ₁= 0 (иначе U(x,p) →∞ при х →∞). Поэтому

.

Полагая здесь х = 0, находим U( 0 ,p) = С ₂. Однако в соответствии с граничным условием условию U( 0 ,p) = F(p). Значит, С ₂ = F(p). Следовательно,

С учетом свойства запаздывания: если f(t) ← F(p), то f(t-τ)←exp(-рτ)F(p). Отсюда, возвращаясь к оригиналу, получим

.

Необходимо отметить, что

при ,

а при

Решение случая б).

Математическая постановка задачи имеет вид

б)

где a ² = LC, b = ½(CR + LG), c ² = RG (здесь R и G — сопротивление и проводимость единицы длины провода).

Применяя преобразование Лапласа, получим граничную задачу

Общее решение уравнения имеет вид

Из граничного условия U (+∞,p) = 0 следует, что С ₁= 0. Значит,

Если , то тогда

Из граничного условия , следует

С учетом свойства запаздывания: если f(t) ← F(p), то f(t-τ)←exp(-рτ)F(p). Отсюда, возвращаясь к оригиналу, получим

.

Необходимо отметить, что

при ,

а при

Пример 22.3. Решить краевую задачу

(П22.3.1)

Решение. Воспользуемся преобразованием Лапласа по пере­менной х. Учитывая свойство этого преобразования, имеем

u(x,t) ≒ p ² U(p,x),

u_t(x,t) ≒ U_t(p,x),

u_x(x,t) ≒ pU_t(p,t) - t,

u_xx(x,t) ≒ p²U(p,t) - pt, f(x) ≒ F(p).

Из уравнения (П22.3.1), применяя к левой и правой его частям преобразование Лапласа, находим

Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (в этом уравнении р играет роль параметра) по переменной t. Его можно переписать так:

Общее решение этого уравнения есть функция

Заметим теперь, что постоянную С здесь нужно считать равной нулю, ибо если С ≠0, то U(p, t) → ∞ при р → ∞ (нарушается необ­ходимое условие существования изображения). Таким образом,

Теперь осталось вернутся к оригиналу u (х, t). Имеем

и по теореме о свертке получим

и по теореме о свертке получим

Следовательно, решение нашей задачи есть

.