Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности

1. Для изображения регулярного в бесконечности.

Для того чтобы изображение было регулярно в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.

Определим понятие целой функцией экспоненциального типа. Итак, целая функция комплекснозначного переменного называется целой функцией экспоненциального типа, если можно найти такие положительные числа и , чтобы для всех комплексных значений выполняется неравенство

. (21.24)

Существует также лемма, которая доказывает, что для того чтобы степенной ряд

, (21.25)

изображал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых чисел и выполнялись неравенства

. (21.26)

Необходимо отметить, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям экспоненциального типа, приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.

Приведенная лемма позволяет реализовать доказательную базу приведенного выше утверждения о том, что для того чтобы изображение было регулярно в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.

Необходимо отметить, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа. Из этого замечания заключаем, что с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функциями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равными в ней нулю.

2. Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности).

Предыдущим изложением показано, что если – какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и равная в ней нулю, и если ее разложение в виде ряда Лорана в окрестности бесконечности, то выражение

(21.27)

будет оригиналом, имеющим изображение вида -.

3. Изображение бесселевых функций.

Функция Бесселя 1-го рода -го порядка, являющаяся первым частным решением уравнения Бесселя при имеет вид:

или

Следовательно, можно утверждать, что функция является целой функцией экспоненциального типа вида - , у которой . Таким образом, изображение этой функции определяется формулой (1.29) - . Поэтому изображение будет иметь вид: , и окончательно получим

≒.

При получим

≒

С другой стороны, биномиальное разложение правой части приводит изображение к виду

следовательно, получим

≒.

Используя метод индукции можно записать изображение бесселевой функции при любом положительном n:

≒ (21.28)

Если изображение имеет вид , то этому изображению соответствует оригинал вида:

≒ (21.29)

и при

≒.

В таблице 21.1 приведены наиболее часто встречающиеся оригиналы функций и соответствующие им изображения.

Таблица 21.1.

	Оригинал –	Изображение –

1.	()
2.	(, целое)
3.
4.
5.	()
6.
7.
8.	tⁿ sin bt
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
		Продолжение табл. 21.1

17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.