Рациональные дроби

Определение 1.6.1. Рациональной дробью называется отношение двух полиномов с вещественными коэффициентами , где полином тождественно не равен нулю.

Определение 1.6.2. Рациональная дробь называется несократимой, если полиномы и взаимно просты.

Определение 1.6.3. Рациональная дробь называется правильной, если .

Добавим к множеству всевозможных правильных рациональных дробей число 0.

Теорема 1.6.1. Любая рациональная дробь однозначно представляется в виде суммы полинома и правильной дроби.

Доказательство. Если , то

,: ,

где . Следовательно

причем — полином, а — правильная дробь.

Определение 1.6.4. Правильная дробь называется простейшей, если ее знаменатель , где — неприводимый полином.

Теорема 1.6.2. Любая правильная рациональная дробь однозначно с точностью до порядка слагаемых разлагается в сумму простейших дробей.

Доказательство. Рассмотрим сначала правильную несократимую рациональную дробь

, (1.6.1)

где НОД(,) = 1. В силу следствия 1.4.1 и , что

Умножая обе части этого равенства на полином , получаем

. (1.6.2)

Представим полином в виде , где , и подставим его в соотношение (1.6.2). Тогда

, (1.6.3)

где .

Дробь (1.6.1) является правильной, следовательно,

По построению

Из соотношения (1.6.3) имеем

. Если разделить обе части соотношения (1.6.3) на произведение , то

Таким образом, показали, что исходная несократимая правильная рациональная дробь (1.6.1) представима в виде суммы правильных дробей.

В силу формулы (1.5.1) полиномы и можно представить в виде произведения степеней неприводимых, а значит, взаимно простых полиномов. Поэтому дробь (1.6.1) допускает однозначное разложение в сумму правильных дробей

, (1.6.4)

где , причем , когда .

Рассмотрим теперь отдельно, например, первую дробь из правой части соотношения (1.6.4). Разделим на полином с остатком, а затем полученный остаток делим на полином и т. д. В итоге получаем цепочку равенств:

Так как , . Рассуждая подобным образом, получаем, что для любого справедливы неравенства .

Так как

то

. (1.6.5)

Таким образом, доказали, что произвольная правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Для доказательства однозначности разложения в сумму простейших дробей рассмотрим соотношение (1.6.5). Допустим, что существует другое разложение дроби