Полиномы с вещественными коэффициентами

Лемма 1.5.1. Для произвольного полинома с вещественными коэффициентами и любого комплексного числа α справедливо равенство .

Доказательство. Пусть . Тогда по формуле Муавра

Очевидно, что

Так как , то с учетом нечетности синуса и четности косинуса получаем

Определение 1.5.1. Полином с вещественными коэффициентами называется неприводимым, если он не делится нацело на полином с вещественными коэффициентами меньшей степени.

Теорема 1.5.1. Любой полином с вещественными коэффициентами однозначно с точностью до порядка сомножителей представляется в виде произведения неприводимых полиномов.

Доказательство. Пусть — произвольный комплексный корень полинома с вещественными коэффициентами . Тогда

Таким образом, если комплексное число является корнем полинома с вещественными коэффициентами, то корнем является и комплексно сопряженное число.

Из теоремы 1.3.2 следует, что полином можно разложить на множители

где — все вещественные корни полинома .

Ясно, что , — это неприводимые полиномы.

Рассмотрим полином

В силу свойств комплексных чисел и — это вещественные числа, поэтому полиномы , неприводимы.

Доказанная теорема позволяет утверждать, что в общем случае, когда у полинома имеются кратные корни, то этот полином представляется в виде

, (1.5.1)

где степень неприводимого полинома , причем , когда .

Теорема 1.5.2 (теорема Виета). Пусть — корни приведенного полинома . Тогда между коэффициентами этого полинома и его корнями существуют следующие зависимости:

…………

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции. При формулы очевидны, а при превращаются в хорошо знакомые формулы Виета для квадратного трехчлена. Допустим, что формулы справедливы при . Докажем их справедливость для случая .