Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n одинаковых элементов

Пусть имеется множество, состоящее из n одинаковых элементов. Каждое его подмножество, содержащее к элементов, называется сочетанием из n элементов по к. Число сочетаний из n элементов по к обозначают (от французского слова combinaison, что и означает сочетание) и вычисляют по формуле: или . читается, как энка. Получить эту формулу можно так: из n различных элементов по k можно составить размещений. Если элементы одинаковы, то число разделим на число перестановок из k, т. е. Р(k). Числа называются также биномиальными коэффициентами, так как они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона, определяющего результат возведения бинома (а + b) в n-ю степень и имеющего вид

или .

Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из 5? (Искомое число способов равно числу трехэлементных подмножеств множества из 5 элементов:

)

Пример. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек? (Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3-элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно ).

Пример. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые 2 шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире? (Партий было сыграно столько, сколько можно выделить 2-элементных подмножеств в множестве из n элементов, т. е. )