Свойства дисперсии

1) (под интегралом стоит квадрат функции).

2) (.

3) (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х₁ = 0 и х₂ = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

Функция распределения равна ,

Математическое ожидание равно M(X) = m_x = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X², то мы получим ту же таблицу (так как 0² = 0 и 1² =1). Поэтому M(X²) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X²) – (m_x)² = p – p² = p(1-p) = pq.

Распределение называется равномерным на отрезке [a,b], еслиплотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.

Из условия нормировки для плотности вероятности следует

. Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна

. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

,

=

=