Пример. Рассмотрим последнее необходимое нам понятие – понятие сочетания

Пример.

Пусть дано М = {—3, 4, —8}. Выпишем все перестановки этого множества. М₁ = {–3, 4, –8}; М₂ = {–3, –8, 4}; М₃ = {4, –3, –8}; М₄ = {4, –8, –3}; М₅ = {–8, 4, –3}; М₆ = {–8, –3, 4}.

Рассмотрим последнее необходимое нам понятие – понятие сочетания. Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество множества М, содержащее m элементов.

Пусть дано множество М = {–1, 2, 6, 8, 9}. Выпишем все сочетания этого множества, если m = 4.

М₁ = {–1, 2, 6, 8}; М₂ = {2, 6, 8, –9}; М₃ = {–1, 6, 8, –9}; М₄ = {–1, 2, 8, –9}; М₅= {—1, 2, 6, —9}. Этими пятью множествами исчерпываются все сочетания. Если написать, например, еще одно М₆ = {6, 8,—9, 2}, то оно будет равно М₂, так как порядок элементов в сочетаниях не имеет значения.

Как и в случае размещений, в задачах нас будет больше интересовать количество сочетаний, которое обозначается .

ТЕОРЕМА. Количество сочетаний из n элементов по m находится по формуле

Для решения задач нам необходимо знать принцип умножения комбинаторики, который заключается в следующем. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, после чего второе действие можно выполнить n₂ способами, третье действие — n₃ способами и т.д. до k -го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены способами.

Теперь разберем ряд задач.

Задача 1.

Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д выбирают три карточки. Сколько слов можно составить таким способом? (Словом считаем любую последовательность букв.)

Решение. Исходное множество содержит 5 букв, следовательно, n = 5. Выбирают три карточки, т.е. m = 3. Далее определяем, чем будут получаемые множества — сочетаниями или размещениями. Так как в условиях этой задачи важен порядок символов (при перестановке букв будут получаться разные слова), то получаемые множества являются размещениями. Используя известную формулу, находим