Задача 4.
Задача 3.
Задача 2.
В ящике находится 10 шаров. Сколькими способами можно достать 4 шара?
Решение. Исходное множество содержит 10 элементов, следовательно, n = 10. Вынимают 4 шара, т.е. m = 4. В условиях нашей задачи порядок элементов в получаемых подмножествах не имеет значения, следовательно, используем формулу для сочетаний
Ответ: существует 210 способов достать 4 шара из 10.
Сколькими способами можно рассадить 7 человек за 7 столов?
Решение. Исходное множество содержит 7 элементов, т.е. n = 7. Выбираемые подмножества тоже содержат 7 элементов, т.е. m = 7. Поскольку n = m = 7 и получаемые множества будут различаться порядком, нужно использовать формулу перестановок.
.
Ответ: 7 человек можно рассадить за 7 столов 5040 способами.
Сколькими способами можно достать из колоды (36 шт.) 5 карт красной масти и 3 карты черной масти?
Решение. В этой задаче выполняются два действия: 1) достают 5 красных карт; 2) достают 3 черных карты. Следовательно, необходимо использовать принцип умножения комбинаторики.
|
|
Найдем сколькими способами можно достать 5 красных карт. Исходное множество содержит 18 элементов (так как в колоде 18 красных карт), т.е. n = 18. Вынимают 5 карт, т.е. m = 5. Из условия задачи видно, что порядок в получаемых подмножествах не имеет значения, поэтому используем формулу сочетаний
Аналогично для второго случая получаем
Полученные значения перемножаем
.
Ответ: 5 красных и 3 черных карты можно достать 6991488 способами.
§ 2. Классическое определение вероятности
Фундаментальными понятиями, которые обычно с самого начала вводятся в теории вероятностей, являются понятиями испытания (опыта), события и вероятности.
Под испытанием (или опытом) будем понимать осуществление некоторого комплекса условий с элементом случайности.
Под событием будем понимать всякое явление, о котором можно сказать “да, оно произошло” или “нет, оно не произошло” при осуществлении испытания.
Все мыслимые взаимоисключающие результаты испытания называются элементарными событиями.
Пример.
Подбрасывание монеты – испытание. Выпадение «орла» – событие. Выпадение «орла» или «решки» – все элементарные события для данного опыта.
События обозначаются большими печатными буквами латинского алфавита A, B, C, D,…
Достоверным называется событие, которое в результате опыта непременно произойдет.
Событие, которое заведомо не может произойти в данном опыте, называется невозможным.
Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.
Пример.
Бросают игральный кубик. Выпадение 6 очков – случайное событие; выпадение 7 очков – невозможное событие; выпадение от 1 до 6 очков – достоверное событие.
|
|
Несколько событий называются равновозможными, если появление какого-либо из них не более возможно, чем любого другого (из них).
Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.
Под противоположным событием Ā понимают событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило событие А.
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.
Игра в шахматы. Событие А – выиграл первый игрок, событие В – выиграл второй. Эти события не совместны, так как выиграть может только один из шахматистов.
Игра в карты. Событие А – выпал козырь, событие В – выпал туз. События А и В совместны, так как может выпасть козырный туз.