Поверхностей

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗВЕРТКАХ

Лекция 9

Вопросы для самопроверки

1. Что представляет собой винтовое движение точки?

2. Чем определяется название винтовых линий?

3. Назовите основные параметры, характеризующие винтовую линию?

4. Какое условие определяют винтовую линию с постоянным ходом?

5. Какие свойства имеет гелиса?

6. Как образуется винтовая поверхность?

7. Назовите основные параметры, характеризующие винтовую поверхность?

8. Какую поверхность называют геликоидом?

9. Чем отличаются поверхности открытого и закрытого геликоидов?

10. Приведите примеры реальных изделий, где встречаются винтовые поверхности?

В начертательной геометрии поверхность рассматривают как гибкую, нерастяжимую пленку не имеющую толщины. Отдельные поверхности, если их некоторым образом деформировать, можно совместить с одной плоскостью без разрывов и складок. Такие поверхности относятся к развертываемым поверхностям.

Фигуру, полученную при совмещении развертываемой поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Поверхности, которые невозможно совместить с плоскостью относятся к неразвертываемым поверхностям.

Рис. 63

Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно однозначное соответствие, выражающееся в следующих свойствах (рис. 63):

1. Точке А поверхности Ф соответствует единственная точка А₀ на ее развертке Ф₀.

2. Кривой m поверхности Ф соответствует кривая m₀ на ее развертке Ф_{0 ,} причем длины кривых равны между собой. Если на поверхности задана геодезическая линия, то на развертке ей соответствует прямая.

3. Угол α между касательными р и q к кривым m и n поверхности Ф соответствует равный ему угол α₀ на развертке Ф_{0 .}

4. Площади S участка Δ поверхности на поверхности Ф₀ соответствует равная ей площадь S₀ участка Δ₀ на развертке Ф₀.

Все перечисленные свойства доказывают в дифференциальной геометрии. Там же доказывается, что развертываемыми поверхностями являются торсы (поверхности, образованные касательными к пространственной кривой), в частности, цилиндрические и конические поверхности [ 1 ]. Остальные кривые поверхности относятся к неразвертываемым поверхностям.