Некоторые особые случаи пересечения поверхностей

1. Поверхности цилиндров (призм) с параллельными образующими (ребрами) и конусов и пирамид с общей вершиной пересекаются по прямым.

На рис. 52, а приведен пример пересечения на наглядном чертеже поверхностей двух цилиндров по образующим l и p, а на рис. 52, б поверхностей пирамиды и конуса по прямым SA и SB. Очевидность этих случаев пересечения не требует доказательства.

Рис. 52

2. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекутся и еще по одной плоской кривой второго порядка.

На рис. 53, а приведен пример пересечения на комплексном чертеже (показана только фронтальная проекция) поверхностей эллиптического конуса с круговым основанием и сферы по двум окружностям p и l.

3. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то они пересекаются между собой по двум кривым второго порядка (рис. 53, б). Это положение известно под названием теорема Монжа.

На рис. 53, б показан пример на комплексном чертеже, где пересекаются цилиндрическая и коническая поверхности вращения по двум эллипсам. В этом случае обе поверхности касательные к общей сфере.

Рис. 53

Следует отметить, что плоскости симметрии Σ (Ο, q) и Γ (i ∩ j) в примерах, приведенных на рис. 53, а и б, параллельны фронтальной плоскости проекций.

Доказательства второго и третьего особых случаев пересечения поверхностей рекомендуется посмотреть в курсах аналитической геометрии [2].

4. Соосные поверхности вращения (т. е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям (рис. 54, а и б).

Действительно при вращении образующих p, l и q вокруг оси i каждая их точка, например, А и В, осуществляет движение по окружности. То же самое происходит и с точками Е и F, находящимися в пересечении образующих поверхностей. Траектории вращения этих точек представляют собой линии пересечения рассматриваемых поверхностей (рис. 54, а).

Рис. 54

В примерах приведенных на рис. 54, а и б даны лишь фронтальные проекции. Причем оси поверхностей вращения i и j расположены параллельно плоскости проекций П₂, вследствие чего окружности, получаемые при пересечении заданных поверхностей, изображаются на эту плоскость проекций в виде прямых.

За ось сферы (см. рис. 54, б) можно принять любой ее диаметр. Поэтому сфера соосна одновременно с конической (ось i) и цилиндрической поверхностями (ось j).