Вопросы для самопроверки. 1. В каком случае поверхности треугольных призм пересекутся по двум треугольникам?

1. В каком случае поверхности треугольных призм пересекутся по двум треугольникам?

2. Как построить вершины линии пересечения многогранных поверхностей?

3. Назовите плоские линии, которые могут получиться в пересечении граней треугольной призмы с конической поверхностью вращения, если ребра призмы параллельны оси?

4. Что собой представляет в общем случае линия пересечения поверхностей второго порядка?

5. В каком случае кривые и многогранные поверхности пересекаются по прямым линиям?

6. Когда поверхности вращения пересекаются по окружностям?

7. Могут ли поверхности вращения пересекаться по гиперболам и параболам?

8. Назовите условия использования сферических посредников для построения линии пересечения поверхностей?

9. Как определить максимальный и минимальный радиусы сферического посредника для построения линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями?

10. Какие преимущества имеют сферические посредники по сравнению с плоскими при построении линии пересечения поверхностей при прочих равных условиях?

С геометрической точки зрения винтовую линию можно рассматривать как траекторию, образованную поступательным движением точки по меридиану поверхности вращения, в то время как меридиан вращается относительно оси поверхности. Такое сложное движение точки, состоящее из поступательного и вращательного движений, называют винтовым.

Рис. 58

Пусть точка А принадлежит некоторой поверхности вращения (рис. 58). Представим, что эта точка совершает поступательное движение по меридиану l и вращательное вокруг оси Оz. Тогда в некоторый момент времени, повернувшись на угол φ¹ и пройдя путь z¹ в направлении оси Oz, точка А займет положение А¹. Поскольку винтовое движение непрерывно, точка опишет траекторию АА¹, представляющую собой участок винтовой линии, название которой соответствует названию поверхности вращения, например, цилиндрическая винтовая линия, если поверхность вращения цилиндрическая.

Винтовая линия характеризуется законом винтового движения z = f (φ), который устанавливает функциональную зависимость между поступательным и вращательным движениями точки [3, 4].

На рис. 58 показано несколько положений меридиана l с находящейся на нем точкой А. Участок ААⁿ винтовой линии, который точка проходит за один оборот (φ= 360⁰), называют витком.

Винтовая линия характеризуется еще ходом и направлением.

Ходом называют расстояние (P) которое проходит точка (А) за один оборот в направлении оси поверхности (см. рис. 58). Величина хода может быть постоянной или переменной, что зависит от отношения скоростей поступательного и вращательного движений точки (или вида закона винтового движения). Например, при равномерности обоих движений образуется винтовая линия с постоянным ходом, а при ускоренном поступательном движении и равномерном вращательном образуется винтовая линия с переменным ходом. В этих случаях функциональная зависимость в законе винтового движения соответственно линейная и нелинейная.

У винтовой линии различают два направления - правое и левое.

Направление винтовой линии называют правым, если точка, вращаясь по часовой стрелке, удаляется от наблюдателя, а при вращении против часовой стрелки - левым.

Из винтовых линий чаще всего встречаются цилиндрические, конические, сферические и торовые. Их названия соответствуют названиям поверхностей, на которых они образованы.

В качестве примера рассмотрим построение на комплексном чертеже цилиндрической (рис. 59, а) и конической (рис. 59, б) винтовых линий с постоянным ходом. Цилиндрическую винтовую линии в этом случае называют гелисой. Исходными условиями для построения гелисы в общем случае являются:

- радиус цилиндрической поверхности (R);

- ход винтовой линии (Р);

- направление (правое или левое);

- начало винтовой линии на цилиндрической поверхности – точка А.

Рис. 59

Для построения гелисы делим ход Р и окружность, на которой находится точка А, на одинаковое число частей (удобно с графической точки зрения деление на 6, 8, 12, 24 и 48 частей). Это обеспечивает равномерность поступательного и вращательного движения точки, а, следовательно, и постоянство хода. Построение гелисы левого направления приведено на рис. 59, а.

Гелиса, которая является одной из самых интересных пространственных линий в геометрии, имеет ряд существенных свойств. Она является геодезической линией цилиндрической поверхности вращения. Геодезической называют линию, определяющую кратчайшее расстояние между двумя точками по поверхности. На развертке любой поверхности такая линия изображается в виде прямой. Гелиса также является линией одинакового наклона относительно плоскости, перпендикулярной к оси поверхности вращения. Кроме того, она обладает свойством сдвигаемости, т. е. участок гелисы можно сдвинуть вдоль самой линии без изменения ее геометрии. Это объясняется постоянством кривизны данной линии. Из известных нам линий такое же свойство имеют прямая и окружность.

На горизонтальную и фронтальную плоскости проекций построенная гелиса изображается соответственно в виде окружности и косинусоиды (или синусоиды) [3].

Для построения конической винтовой линии постоянного хода исходными данными являются:

- радиус (R) основания и высота (H) конуса;

- ход винтовой линии (Р);

- направление (правое или левое);

- начало винтовой линии на конической поверхности – точка А.

Последовательность построения на комплексном чертеже конической винтовой линии с постоянным шагом аналогично построению гелисы. На рис. 59, б изображена коническая винтовая линия правого направления, величина хода которой равна высоте конуса, т. е. P = H.

Проекции такой линии на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций соответственно спираль Архимеда и косинусоида (или синусоида) с убывающей амплитудой [3].

Винтовой называют поверхность образованную винтовым движением образующей. В качестве направляющей выступает винтовая линия, название которой определяет название поверхности. При этом, очевидно, что каждая точка образующей будет совершать также соответствующее винтовое движение. Ход и направление винтовой поверхности определяются ходом и направлением винтовой направляющей.

В зависимости от вида образующей (прямая или кривая) винтовые поверхности разделяют на линейчатые и нелинейчатые.

Винтовую поверхность называют закрытой, если образующая (прямолинейная или криволинейная) пересекает ось, и открытой, если ее не пересекает.

На рис. 60, а показан участок некоторой линейчатой, закрытой винтовой поверхности правого направления, которая образована прямолинейной образующей АВ, пересекающей ось Oz винтовой направляющей.

Если прямолинейная образующая перпендикулярна оси, то винтовую поверхность называют прямой. Если не перпендикулярна – косой.

Среди линейчатых винтовых поверхностей наибольший интерес представляют поверхности с направляющей цилиндрической винтовой линией гелисой. Такие поверхности называют геликоидами.

На рис. 60, б показан участок нелинейчатой, открытой винтовой поверхности правого направления, образующая которой – окружность – перемещается так, что ее центр (точка К) принадлежит винтовой направляющей - гелисе, а плоскость окружности нормальна к ней. Такую винтовую поверхность называют нормальным круглым цилиндром. Из всего многообразия нелинейчатых винтовых поверхностей эта поверхность наиболее часто встречается в технике, например, в пружинах.

Рис. 60

На рис. 61 приведен комплексный чертеж прямого закрытого геликоида левого направления, образующая которого задана отрезком прямой АО, а направляющей служит цилиндрическая винтовая линия гелиса. При построении винтовой поверхности ход Р и окружность радиуса R разделены на двенадцать частей. Дальнейшие действия ясны из чертежа и не требуют комментариев.

Если в качестве образующей винтовой поверхности взять плоский контур, расположенный в меридиональной плоскости, и перемещать его по винтовой направляющей, то образуется геометрическое тело, которое в технике называют винтовым выступом, а плоский контур, его образующий – профилем. Сочетание винтового выступа и цилиндра называют винтом, например, резьбовые участки болтов, винтов, шпилек.

Рис. 61

Рис. 62

На рис. 62, в качестве примера, показаны теоретические профили резьб общего машиностроения. Каждому стандартному профилю, определяющему конкретный тип резьбы, присваивается соответствующее буквенное обозначение.

Треугольный профиль с углом 60⁰ встречается в стандартных метрических резьбах и обозначается латинской буквой М, а профиль с углом 55⁰ используется в стандартных дюймовых резьбах с буквенными обозначениями G (трубная цилиндрическая) и R (трубная коническая).

Стандартный круглый профиль цилиндрической резьбы обозначается буквами Кр русского алфавита.

Следующие резьбовые профили, имеющие форму трапеции, называют трапецеидальным и упорным. Они обозначаются латинскими буквами соответственно Tr и S.

Прямоугольный профиль не имеет буквенного обозначения, так как данная резьба не стандартизована.

С различными типами винтов и их построением на комплексном чертеже следует ознакомиться в соответствующей литературе [1, 2, 4].