Кольца, тела и поля

Следующими по важности алгебраическими системами являются кольца, тела и поля, которые представляют множества с заданными на них одновременно несколькими действиями. Эти действия, как и в случае групп и полугрупп, могут быть весьма разнообразными. И для обозначения этих действий в общем случае лучше всего было бы употреблять какие–либо отвлеченные от установившихся понятий значки, например: «∘», «*», «j» и т.п.. Однако, по сложившейся традиции, в алгебраических системах с двумя действиями приняты обозначения «+» и «´» (или «×») и при этом используется обычная терминология для этих действий: «сложение» и «умножение». Хотя сами эти действия могут и не иметь ничего общего со сложением и умножением обычных чисел.

Алгебра вида (М, +, × ), которая по «сложению» является абелевой группой, а по «умножению» полугруппой, называется кольцом, если оба действия связаны законом дистрибутивности.

Таким образом, кольцо – это непустое множество, на котором определены действия типа сложения и умножения со свойствами:

а) сложение ассоциативно, обратимо и коммутативно, а также неограниченно применимо на М;

б) умножение неограниченно применимо и ассоциативно на М;

в) оба действия связаны соотношением: для любых x, y и z из М следует (x+y)×z=x×z+y×z и z×(x+y)=z×x+z×y – двусторонняя дистрибутивность «умножения» относительно «сложения».

Множество М, рассматриваемое по отношению к «сложению», называется аддитивной группой кольца.

Кольцо называется коммутативным, если «умножение» на М коммутативно.

Нейтральный элемент аддитивной группы кольца называется нулем кольца и обозначается 0_K.

Таким образом, для любого элемента x из М следует: x+0_K= 0_K+x = x и x+(‑x)= (‑x)+x=0_K. При этом для каждого элемента x из М и любого натурального числа n определен n‑кратный элемент nx=, 0‑кратный определяется как 0×x=0_K., а обратный к n‑кратному: ‑(nx)=n(‑x).

Свойства кольца, связанные с действием «умножения»:

1) Для любого элемента хÎM следует х×0_K=0_K×х=0_K.

Доказательство: действительно, по дистрибутивности х×0_K= х×(0_K+0_K)= х×0_K+х×0_K. Добавим к левой и правой частям этого равенства обратный элемент: (‑х×0_K). Тогда х×0_K+(‑х×0_K)= х×0_K+ х×0_K+(‑х×0_К). В левой части имеем: 0_К×(х+(‑x))= 0_K+0_K = 0_K, в правой части: х×0_K+0_K×(х+(‑x))= х×0_K+0_K= х×0_K. Таким образом, 0_К= х×0_K. Аналогично можно показать, что 0_K×х=0_K.

2) Из предыдущего также следует, что действие «умножения» в кольце необратимо, за исключением лишь случая, когда кольцо состоит из одного лишь элемента 0_K. Действительно, ни при каком zÎM для х¹0_K не имеет места ни z×0_K=х, ни 0_K×z=x.

Элементы x, yÎM такие, что х¹0_K и y¹0_K и x×y=0_K называются делителями нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Делители нуля в кольце всегда необратимы.

Если кольцо обладает нейтральным элементом по умножению, не совпадающим с нулем кольца, то оно называется кольцом с единицей.

Подмножество I кольца М называется его двусторонним идеалом, если оно само является кольцом относительно действий на М, и если для любого элемента х из М и для любого yÎI следует: x×yÎI и y×xÎI, т.е. правый и левый классы смежности относительно I являются подмножествами I.

Так множество четных чисел является идеалом кольца целых чисел. И вообще множество чисел, кратных любому целому числу k, является идеалом кольца целых чисел.

Примеры:

1) (ℤ, +, ´) – коммутативное кольцо целых чисел, являющееся областью целостности. По сложению – абелева группа, по умножению – абелева полугруппа. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

2) Множества ℚ, ℝ, ℂ образуют кольца по сложению и умножению.

3) Множество четных чисел, а также множество целых чисел, кратных произвольному целому числу а: {…, ‑na,…,‑2a, ‑a, 0, a, 2a,…,na,…} – является коммутативным кольцом относительно обычных действий сложения и умножения.

4) Алгебраические системы (ℕ, +, ´) и (ℚ^>0, +, ´) кольцами не являются.

5) Множество многочленов а₀+а₁х+ а₂х²+¼+ а_nхⁿ с коэффициентами из некоторого кольца является кольцом относительно почленного сложения и почленного умножения многочленов.

6) Множество классов вычетов по модулю m относительно сложения и умножения классов образует коммутативное кольцо классов вычетов по модулю m и обозначается ℤ_m. Рассмотрим этот пример более подробно.

ℤ_m ={K₀, K₁, ¼, K_m‑1}, где K_i={xÎℤ: x mod m = i }, i=0,1,¼,m‑1. И для любых i и jÎ{0,1,¼,m‑1} сложение классов определяется так: K_i+K_j={ x+y: xÎK_i, yÎK_j и (x+y) mod m = (i+j) mod m }=K_r, где r= (i+j) mod m . Нейтральным элементом по сложению является класс K₀, обратным по сложению для любого класса K_i ( 1 £ i £ m‑1 ) является класс K_m‑i, а для класса K₀ – сам K₀. Сложение классов коммутативно, ввиду коммутативности сложения целых чисел, и ассоциативно. Таким образом, (ℤ_m, +) – абелева группа. Произведение классов определяется так: K_i ×K_j=={ x×y: xÎK_i, yÎK_j и (x×y) mod m = (i×j) mod m }ÍK_r, где r= (i×j) mod m . Тем самым умножение классов неограниченно применимо. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность умножения классов относительно их сложения следует из аналогичных свойств умножения целых чисел. Кроме того, класс K₁ является нейтральным элементом по умножению классов вычетов по модулю m. Таким образом (ℤ_m, × ) – абелев моноид и (ℤ_m, +, × ) – коммутативное кольцо с единицей.

Рассмотрим кольцо (ℤ₄, +, × ), где ℤ₄={ K₀, K₁, K₂, K₃ } и K₀={ xÎℤ: x mod 4=0 }, K₁={ xÎℤ: x mod 4=1 } и т.д.. Таблицы Кэли для сложения и умножения классов:

+

K0

K1

K2

K3

×

K0

K1

K2

K3

K0

K0

K1

K2

K3

K0

K0

K0

K0

K0

K1

K1

K2

K3

K0

K1

K0

K1

K2

K3

K2

K2

K3

K0

K1

K2

K0

K2

K0

K2

K3

K3

K0

K1

K2

K3

K0

K3

K2

K1

Из таблиц видно, что 0_К=K₀, т.к. для любых i=0,1,2,3 K_i+0_К= 0_К+K_i =K_i и K_i·0_К= 0_К·K_i= K₀ (первая строка и первый столбец таблицы сложения совпадают с шапкой этой таблицы; первая строка и первый столбец таблицы умножения состоят из одного и того же элемента: K₀). Коммутативность действий видна из того, что каждая таблица симметрична относительно главной диагонали. Элемент K₂ является делителем нуля, т.к. K₂·K₂=K₀=0_К. Нейтральный элемент по умножению – K₁, поскольку вторая строка и второй столбец таблицы умножения совпадают с шапкой. У всех элементов, кроме K₀ и K₂ имеются обратные по умножению: для K₁ – сам K₁, для K₃ – сам K₃.

Кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный по умножению, называется телом.

Из последнего определения и теоремы о полугруппе ненулевые элементы тела образуют группу, которая называется мультипликативной группой тела. Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: абелеву аддитивную группу и мультипликативную группу.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный, называется полем. Таким образом, поле – это тело с коммутативным умножением. Аналогичным образом вводится понятие мультипликативной группы поля – это множество ненулевых элементов поля, которые образуют абелеву группу по умножению.

Примеры:

1) ℚ, ℝ, ℂ – образуют поля относительно обычного сложения и умножения. ℤ – поля не образует, т.к. относительно умножения никакие элементы, кроме «+1» и «‑1», не имеют обратных. Но ℤ образует область целостности, т.к. нет делителей нуля, т.е. из равенства a×b=0 следует: либо а=0, либо b=0.

2) Множество квадратных невырожденных матриц фиксированного размера с вещественными элементами относительно операций сложения и умножения матриц образует тело.

3) Кольцо классов вычетов ℤ_p является полем, если p – простое число. Оно называется полем вычетов по модулю p. Легко показать, что у каждого ненулевого элемента имеется обратный. Например, в поле ℤ₇ обратными друг к другу являются элементы: K₁ и K₁, K₂ и K₄, K₃ и K₅, K₆ и K₆.

ℤ_p – простейший пример конечного поля. Конечные поля называют полями Галуа и обозначают GF(p). Свойства полей Галуа используются в теории кодирования. Одним из важнейших таких свойств является то, что мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой порядка (p‑1). Порождающий элемент этой группы называется примитивным. Так в поле GF(7) примитивным элементом является класс K₃. Действительно, K₃⁰=K₁, K₃²=K₂, K₃³=K₆, K₃⁴=K₄, K₃⁵=K₅, K₃⁶=K₁, таким образом, степени элемента K₃ исчерпывают все ненулевые элементы ℤ₇. Заметим, что класс K₂ не является примитивным элементом в ℤ₇, т.к. среди его степеней нет, например, класса K₃. Тогда как в полях GF(3), GF(5), GF(11) и т.д. класс K₂ – примитивный элемент.