double arrow

Кольца, тела и поля


Следующими по важности алгебраическими системами являются кольца, тела и поля, которые представляют множества с заданными на них одновременно несколькими действиями. Эти действия, как и в случае групп и полугрупп, могут быть весьма разнообразными. И для обозначения этих действий в общем случае лучше всего было бы употреблять какие–либо отвлеченные от установившихся понятий значки, например: «∘», «*», «j» и т.п.. Однако, по сложившейся традиции, в алгебраических системах с двумя действиями приняты обозначения «+» и «´» (или «×») и при этом используется обычная терминология для этих действий: «сложение» и «умножение». Хотя сами эти действия могут и не иметь ничего общего со сложением и умножением обычных чисел.

Алгебра вида (М, +, × ), которая по «сложению» является абелевой группой, а по «умножению» полугруппой, называется кольцом, если оба действия связаны законом дистрибутивности.

Таким образом, кольцо – это непустое множество, на котором определены действия типа сложения и умножения со свойствами:

а) сложение ассоциативно, обратимо и коммутативно, а также неограниченно применимо на М;




б) умножение неограниченно применимо и ассоциативно на М;

в) оба действия связаны соотношением: для любых x, y и z из М следует (x+yz=x×z+y×z и z×(x+y)=z×x+z×y – двусторонняя дистрибутивность «умножения» относительно «сложения».

Множество М, рассматриваемое по отношению к «сложению», называется аддитивной группой кольца.

Кольцо называется коммутативным, если «умножение» на М коммутативно.

Нейтральный элемент аддитивной группы кольца называется нулем кольца и обозначается 0K.

Таким образом, для любого элемента x из М следует: x+0K= 0K+x = x и x+(‑x)= (‑x)+x=0K. При этом для каждого элемента x из М и любого натурального числа n определен n‑кратный элемент nx=, 0‑кратный определяется как 0×x=0K., а обратный к n‑кратному: ‑(nx)=n(‑x).

Свойства кольца, связанные с действием «умножения»:

1) Для любого элемента хÎM следует х×0K=0K×х=0K.

Доказательство: действительно, по дистрибутивности х×0K= х×(0K+0K)= х×0K+х×0K. Добавим к левой и правой частям этого равенства обратный элемент: (‑х×0K). Тогда х×0K+(‑х×0K)= х×0K+ х×0K+(‑х×0К). В левой части имеем: 0К×(х+(‑x))= 0K+0K = 0K, в правой части: х×0K+0K×(х+(‑x))= х×0K+0K= х×0K. Таким образом, 0К= х×0K. Аналогично можно показать, что 0K×х=0K.

2) Из предыдущего также следует, что действие «умножения» в кольце необратимо, за исключением лишь случая, когда кольцо состоит из одного лишь элемента 0K. Действительно, ни при каком zÎM для х¹0K не имеет места ни z×0K=х, ни 0K×z=x.

Элементы x, yÎM такие, что х¹0K и y¹0K и x×y=0K называются делителями нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.



Делители нуля в кольце всегда необратимы.

Если кольцо обладает нейтральным элементом по умножению, не совпадающим с нулем кольца, то оно называется кольцом с единицей.

Подмножество I кольца М называется его двусторонним идеалом, если оно само является кольцом относительно действий на М, и если для любого элемента х из М и для любого yÎI следует: x×yÎI и y×xÎI, т.е. правый и левый классы смежности относительно I являются подмножествами I.

Так множество четных чисел является идеалом кольца целых чисел. И вообще множество чисел, кратных любому целому числу k, является идеалом кольца целых чисел.

Примеры:

1) (ℤ, +, ´) – коммутативное кольцо целых чисел, являющееся областью целостности. По сложению – абелева группа, по умножению – абелева полугруппа. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

2) Множества ℚ, ℝ, ℂ образуют кольца по сложению и умножению.

3) Множество четных чисел, а также множество целых чисел, кратных произвольному целому числу а: {…, ‑na,…,‑2a, ‑a, 0, a, 2a,…,na,…} – является коммутативным кольцом относительно обычных действий сложения и умножения.

4) Алгебраические системы (ℕ, +, ´) и (ℚ>0, +, ´) кольцами не являются.

5) Множество многочленов а0+а1х+ а2х2+¼+ аnхn с коэффициентами из некоторого кольца является кольцом относительно почленного сложения и почленного умножения многочленов.



6) Множество классов вычетов по модулю m относительно сложения и умножения классов образует коммутативное кольцо классов вычетов по модулю m и обозначается ℤm. Рассмотрим этот пример более подробно.

m ={K0, K1, ¼, Km‑1}, где Ki={xÎℤ: x mod m = i }, i=0,1,¼,m‑1. И для любых i и jÎ{0,1,¼,m‑1} сложение классов определяется так: Ki+Kj={ x+y: xÎKi, yÎKj и (x+y) mod m = (i+j) mod m }=Kr, где r= (i+j) mod m . Нейтральным элементом по сложению является класс K0, обратным по сложению для любого класса Ki ( 1 £ i £ m‑1 ) является класс Kmi, а для класса K0 – сам K0. Сложение классов коммутативно, ввиду коммутативности сложения целых чисел, и ассоциативно. Таким образом, (ℤm, +) – абелева группа. Произведение классов определяется так: Ki ×Kj=={ x×y: xÎKi, yÎKj и (x×y) mod m = (i×j) mod mKr, где r= (i×j) mod m . Тем самым умножение классов неограниченно применимо. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность умножения классов относительно их сложения следует из аналогичных свойств умножения целых чисел. Кроме того, класс K1 является нейтральным элементом по умножению классов вычетов по модулю m. Таким образом (ℤm, × ) – абелев моноид и (ℤm, +, × ) – коммутативное кольцо с единицей.

Рассмотрим кольцо (ℤ4, +, × ), где ℤ4={ K0, K1, K2, K3 } и K0={ xÎℤ: x mod 4=0 }, K1={ xÎℤ: x mod 4=1 } и т.д.. Таблицы Кэли для сложения и умножения классов:

+ K0 K1 K2 K3       × K0 K1 K2 K3
K0 K0 K1 K2 K3       K0 K0 K0 K0 K0
K1 K1 K2 K3 K0       K1 K0 K1 K2 K3
K2 K2 K3 K0 K1       K2 K0 K2 K0 K2
K3 K3 K0 K1 K2       K3 K0 K3 K2 K1

Из таблиц видно, что 0К=K0, т.к. для любых i=0,1,2,3 Ki+0К= 0К+Ki =Ki и Ki·0К= 0К·Ki= K0 (первая строка и первый столбец таблицы сложения совпадают с шапкой этой таблицы; первая строка и первый столбец таблицы умножения состоят из одного и того же элемента: K0). Коммутативность действий видна из того, что каждая таблица симметрична относительно главной диагонали. Элемент K2 является делителем нуля, т.к. K2·K2=K0=0К. Нейтральный элемент по умножению – K1, поскольку вторая строка и второй столбец таблицы умножения совпадают с шапкой. У всех элементов, кроме K0 и K2 имеются обратные по умножению: для K1 – сам K1, для K3 – сам K3.

Кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный по умножению, называется телом.

Из последнего определения и теоремы о полугруппе ненулевые элементы тела образуют группу, которая называется мультипликативной группой тела. Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: абелеву аддитивную группу и мультипликативную группу.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный, называется полем. Таким образом, поле – это тело с коммутативным умножением. Аналогичным образом вводится понятие мультипликативной группы поля – это множество ненулевых элементов поля, которые образуют абелеву группу по умножению.

Примеры:

1) ℚ, ℝ, ℂ – образуют поля относительно обычного сложения и умножения. ℤ – поля не образует, т.к. относительно умножения никакие элементы, кроме «+1» и «‑1», не имеют обратных. Но ℤ образует область целостности, т.к. нет делителей нуля, т.е. из равенства a×b=0 следует: либо а=0, либо b=0.

2) Множество квадратных невырожденных матриц фиксированного размера с вещественными элементами относительно операций сложения и умножения матриц образует тело.

3) Кольцо классов вычетов ℤp является полем, если p – простое число. Оно называется полем вычетов по модулю p. Легко показать, что у каждого ненулевого элемента имеется обратный. Например, в поле ℤ7 обратными друг к другу являются элементы: K1 и K1, K2 и K4, K3 и K5, K6 и K6.

p – простейший пример конечного поля. Конечные поля называют полями Галуа и обозначают GF(p). Свойства полей Галуа используются в теории кодирования. Одним из важнейших таких свойств является то, что мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой порядка (p‑1). Порождающий элемент этой группы называется примитивным. Так в поле GF(7) примитивным элементом является класс K3. Действительно, K30=K1, K32=K2, K33=K6, K34=K4, K35=K5, K36=K1, таким образом, степени элемента K3 исчерпывают все ненулевые элементы ℤ7. Заметим, что класс K2 не является примитивным элементом в ℤ7, т.к. среди его степеней нет, например, класса K3. Тогда как в полях GF(3), GF(5), GF(11) и т.д. класс K2 – примитивный элемент.







Сейчас читают про: