Учебный вопрос 2. Определение состава операций -50

Экономический смысл: предприятию безразлично- выпускать продукцию следуя оптимальному плану или, быть может, взять да продать ресурсы по теневым ценам и, тем самым, возместить понесенные затраты.

Это даст наибольший прирост максимума прибыли!

Сравнивая теневые цены ресурсов можно решить, в какой из них выгоднее вкладывать дополнительные средства.

Вновь вернемся к модели из §4 (ресурсы: труд, сырье, оборудование).

Покажем, как двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства.

Это означает, что значение компоненты в оптимальном решении двойственной задачи указывает, на сколько изменится максимум целевой функции, если правая часть соответствующего ограничения изменится на одну единицу.

д) Если одна из двойственных задач решена табличным симплекс методом, то оптимальное решение симметричной двойственной задачи легко находится по последней симплекс- таблице - достаточно найти абсолютные значения балансовых переменных. Так, в § 4 оптимальное решение двойственной задачи (2/3, 10/3, 0). Впрочем, ниже мы получим тот же результат из других соображений.

Экономическая интерпретация двойственной задачи.

6х₁ + 5х₂ + 4х₃ ≤ 120 6у₁ +3у₂ + 5у₃ ≥ 9

3х₁ + 2х₂ + 4х₃ ≤ 96 5у₁ +2у₂ + 3у₃ ≥ 10

5х₁ + 3х₂ + 3х₃ ≤ 180 4у₁ +4у₂ + 3у₃ ≥ 16

х₁, х₂, х₃ ≥ 0 у₁, у₂, у₃ ≥ 0

F= 9х₁ + 10х₂ + 16х₃ → max G = 9y₁ + 10х₂ + 16y → min

Напомним, что х _опт = (0, 8, 20), F_max = 400

1) Из любого ограничения двойственной задачи следует, что размерность у_i совпадает с размерностью правой части (рубли/ ед. ресурса). Поэтому у_i имеют смысл цены единицы ресурса. Их так и называют – теневые цены ресурсов. Речь, конечно идет не о реальных ценах ресурсов по которым осуществляется их закупка. Это лишь некоторая экономическая мера, характеризующая ценность ресурса относительно полученного оптимального решения.

Выше мы отметили, что у₁ = 2/3, у₂=10/3. Таким образом, дополнительные средства выгоднее вкладывать в закупку сырья. Так, у₂=10/3 указывает на величину ожидаемого прироста максимума прибыли от дополнительного вовлечения в производство 1 ед. сырья.

Итак, наряду с расчетом оптимальной производственной программы, решается задача оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам!

2) Отметим, что F_max = 400, G_min = 120* (2/3) + 96* (10/3) +180 *(0) =400.

Таким образом, пункт а) теоремы двойственности выполнен!

3) Так как х₂ > 0 и х₃ > 0, то в силу п. в)

5у₁ +2у₂ + 3у₃ = 10

4у₁ +4у₂ + 3у₃ = 16

А так как третье ограничение исходной задачи обращается при оптимальном решении в строгое неравенство, то у₃ = 0.

Итак, у₁ =2/3, у₂ =10/3.→ у_опт = (2/3, 10/3, 0)

4) Подчеркнем, что у₃ = 0 означает недефицитность третьего ресурса,

у₁ =2/3, у₂ =10/3 - дефицитность первых двух ресурсов.

5) В силу г) увеличение запаса сырья на одну ед. приведет к увеличению прибыли на 10/3 у.е.