double arrow

Теорема сложения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность

Вероятность случайного события – основное понятие теории вероятностей.

Вероятность P(A) – количественное выражение степени возможности события A.

Несколько определений вероятности:

  1. Предел частоты при неограниченном увеличении числа опытов.
  2. Схема случаев: отношение числа благоприятствующих событию случаев к общему числу случаев. (Пригодно только при конечном числе случаев.)
  3. Геометрическая вероятность. Случай – попадание в любую точку области D. Событие – попадание в часть А области D. Вероятность события А – отношение меры области А к мере области D.
  4. Есть и другие определения.

Свойства вероятности:

· 1 ³ P ³ 0

· Вероятность невозможного события = 0. И наоборот: если Р=0, то событие невозможно.

· Вероятность достоверного события + 1. И наоборот: если Р=1, то событие достоверно.

· Вероятность произведения несовместных событий = 0. И наоборот: если Р(АВ) = 0, то события А и В несовместны.

· Вероятность суммы событий, образующих полную группу, = 1. И наоборот: если вероятность суммы событий = 1, то они образуют полную группу.

· Теоремы сложения и умножения вероятностей позволяют определять вероятность события через вероятности других событий, связанных с первым событием.

Вероятность суммы двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Доказательство для схемы случаев

· Общее число случаев n

· Число случаев, благоприятствующих событию A равно m, событию B - равно k, событию AB - равно l

· Тогда P(A + B) = m/n + k/n - l/n = P(A) + P(B) – P(AB), так как l входит как в m, так и в k.

· Геометрическая интерпретация

Следствие 1: Если два события несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий

Обобщение на случай многих событий: Если имеется группа попарно несовместных событий A1, A2,…,As то

Задание: Написать соответствующую формулу для каких угодно (совместных) событий

Следствие 2: Если события A1, A2,…,As несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице

Следствие 3: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: