Теоремы сложения и умножения вероятностей
Вероятность
Вероятность случайного события – основное понятие теории вероятностей.
Вероятность P(A) – количественное выражение степени возможности события A.
Несколько определений вероятности:
- Предел частоты при неограниченном увеличении числа опытов.
- Схема случаев: отношение числа благоприятствующих событию случаев к общему числу случаев. (Пригодно только при конечном числе случаев.)
- Геометрическая вероятность. Случай – попадание в любую точку области D. Событие – попадание в часть А области D. Вероятность события А – отношение меры области А к мере области D.
- Есть и другие определения.
Свойства вероятности:
· 1 ³ P ³ 0
· Вероятность невозможного события = 0. И наоборот: если Р=0, то событие невозможно.
· Вероятность достоверного события + 1. И наоборот: если Р=1, то событие достоверно.
· Вероятность произведения несовместных событий = 0. И наоборот: если Р(АВ) = 0, то события А и В несовместны.
|
|
· Вероятность суммы событий, образующих полную группу, = 1. И наоборот: если вероятность суммы событий = 1, то они образуют полную группу.
· Теоремы сложения и умножения вероятностей позволяют определять вероятность события через вероятности других событий, связанных с первым событием.
Вероятность суммы двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) |
Доказательство для схемы случаев
· Общее число случаев n
· Число случаев, благоприятствующих событию A равно m, событию B - равно k, событию AB - равно l
· Тогда P(A + B) = m/n + k/n - l/n = P(A) + P(B) – P(AB), так как l входит как в m, так и в k.
· Геометрическая интерпретация
Следствие 1: Если два события несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий
Обобщение на случай многих событий: Если имеется группа попарно несовместных событий A1, A2,…,As то
Задание: Написать соответствующую формулу для каких угодно (совместных) событий
Следствие 2: Если события A1, A2,…,As несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице
Следствие 3: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице