2014-02-12
568
Тема 5.Средние величины и показатели вариации
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака в конкретных условиях, месте и времени.
Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Для характеристики любой совокупности, описания ее типических черт и качественных особенностей используется система средних показателей. Выбор средней определяется экономическим содержанием определяемого показателя и исходных данных.
1) степенные средние: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и др.
2) структурные средние: мода, медиана, квартили, децили и др.
Средняя арифметическая 
простая – равна сумме отдельных значений признака (х), деленной на общее число этих признаков (n):
Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда варианты представлены индивидуально в виде перечня в любом порядке.
Средняя арифметическая взвешенная:
Средняя гармоническая простая:
|
|
|
Средняя гармоническая взвешенная:
Средняя гармоническая 
применяется, когда статистическая информация представлена как произведение частот по отдельным вариантам совокупности.
Средняя геометрическая 
исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений – вариантов признака х.
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин. Она используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста.
Между различными видами степенных средних существуют определенные соотношения, которые нашли отражение в правиле мажорантности:
.
Средняя хронологическая:
Средняя хронологическая предназначена для определения средней величины моментного ряда.
Структурные (непараметрические) средние применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.
Мода – значение признака, которое наиболее часто встречается в изучаемой совокупности.
Для дискретных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.
Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю арифметическую из двух серединных значений.
Мода интервального ряда распределения с равными интервалами:
,
где х0 – нижняя граница модального интервала;
i – величина модального интервала;
− частота модального интервала;
− частота интервала, предшествующего модальному;
− частота интервала, следующего за модальным.
|
|
|
Медиана – это значение признака, которое находится в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
Медиана интервального ряда распределения:
,
где х0 – нижняя граница медианного интервала;
− сумма частот;
− накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
− частота медианного интервала.
Мода и медиана могут быть определены графически. Мода определяется по гистограмме распределения.Медиана определяется по кумуляте.
Вариацией признака называется наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности.
Вариационными называются ряды распределения, построенные по количественному признаку. По способу построения они бывают двух видов: дискретные и интервальные.
Дискретным является ряд, в котором перечисляются отдельные значения признака, и указывается их частота.
Для характеристики размера вариации используют абсолютные и относительные показатели вариации.
Размах вариации показывает крайние отклонения признака – это разность между максимальным и минимальным значениями признака:
Среднелинейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую величину из отклонений вариантов признака от их средней:
- невзвешенное:
- взвешенное:
,
где 
− абсолютное значение отклонений.
Дисперсия вариационного признака:
- невзвешенная:
- взвешенная:
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:
невзвешенное:
взвешенное:
