Определение. Подмножество кольца
называется подкольцом кольца
и обозначается
, если
является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце
.
В каждом кольце , очевидно, существуют следующие подкольца:
· само кольцо ;
· нулевое кольцо , где
.
Для выяснения, является ли данное подмножество кольца
подкольцом этого кольца, можно воспользоваться следующей теоремой.
Теорема. Для того, чтобы непустое подмножество кольца
было его подкольцом, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:
(10)
(– подгруппа аддитивной группы кольца
);
(11)
(– подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца
).
Доказательство. Докажем необходимость условий.
Предположим, что - подкольцо кольца
.
Пусть и
– произвольные элементы подмножества
.
Тогда каждый из элементов
кольца содержится в
:
если бы по крайней мере один из них не содержался бы в , то подмножество
не было бы кольцом относительно операций, определенных на
, и, следовательно, не было бы подкольцом кольца
.
Докажем достаточность условий. Предположим, что подмножество удовлетворяет условиям теоремы.
Тогда в подмножестве определено понятие суммы и произведения, т.е. на подмножестве
определены операции сложения и умножения.
Эти операции на подмножестве ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом:
Нулевой элемент 0 содержится в и для
обратный (противоположный) элемент
.
Действительно, пусть – произвольный элемент подмножества
.
Тогда т.е.
и
, т.е.
.
Таким образом, подмножество является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных на
и, следовательно, является подкольцом кольца
.
Примеры. 1. Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел –
.
2. Кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел –
.
3. Кольцо рациональных чисел и кольцо
, где, как и ранее,
– множество чисел вида
, являются подкольцами кольца действительных чисел –
.
Для любого семейства подколец произвольного кольца справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пересечение любого семейства подколец кольца
является подкольцом кольца
:
. (12)
Доказательство. Нулевой элемент 0 кольца содержится в каждом из подколец, и, следовательно, содержится в их пересечении.
Если – кольцо с единицей, то каждое подкольцо
кольца
также будет содержать единицу кольца, и, следовательно, и их пересечение будет содержать единицу кольца.
Пусть – произвольные элементы, принадлежащие
. Элементы
и
, очевидно, содержатся в каждом из подколец
.
По определению кольца, элементы и
также содержатся в каждом из подколец
, следовательно
– удовлетворяет аксиомам кольца и является подкольцом кольца
.
Пусть, как и ранее, произвольное множество содержится в каждом из подколец
кольца
:
тогда можно определить минимальное подкольцо , содержащее заданное множество
:
(13)
Если – подкольцо кольца, то
.