Подкольцо кольца

Определение. Подмножество кольца называется подкольцом кольца и обозначается , если является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце .

В каждом кольце , очевидно, существуют следующие подкольца:

· само кольцо ;

· нулевое кольцо , где .

Для выяснения, является ли данное подмножество кольца подкольцом этого кольца, можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы непустое подмножество кольца было его подкольцом, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

(10)

(– подгруппа аддитивной группы кольца );

(11)

(– подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца ).

Доказательство. Докажем необходимость условий.

Предположим, что - подкольцо кольца .

Пусть и – произвольные элементы подмножества .

Тогда каждый из элементов

кольца содержится в :

если бы по крайней мере один из них не содержался бы в , то подмножество не было бы кольцом относительно операций, определенных на , и, следовательно, не было бы подкольцом кольца .

Докажем достаточность условий. Предположим, что подмножество удовлетворяет условиям теоремы.

Тогда в подмножестве определено понятие суммы и произведения, т.е. на подмножестве определены операции сложения и умножения.

Эти операции на подмножестве ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом:

Нулевой элемент 0 содержится в и для обратный (противоположный) элемент .

Действительно, пусть – произвольный элемент подмножества .

Тогда т.е. и , т.е. .

Таким образом, подмножество является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных на и, следовательно, является подкольцом кольца .

Примеры. 1. Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел – .

2. Кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел – .

3. Кольцо рациональных чисел и кольцо , где, как и ранее, – множество чисел вида , являются подкольцами кольца действительных чисел – .

Для любого семейства подколец произвольного кольца справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пересечение любого семейства подколец кольца является подкольцом кольца :

. (12)

Доказательство. Нулевой элемент 0 кольца содержится в каждом из подколец, и, следовательно, содержится в их пересечении.

Если – кольцо с единицей, то каждое подкольцо кольца также будет содержать единицу кольца, и, следовательно, и их пересечение будет содержать единицу кольца.

Пусть – произвольные элементы, принадлежащие . Элементы и , очевидно, содержатся в каждом из подколец .

По определению кольца, элементы и также содержатся в каждом из подколец , следовательно – удовлетворяет аксиомам кольца и является подкольцом кольца .

Пусть, как и ранее, произвольное множество содержится в каждом из подколец кольца :

тогда можно определить минимальное подкольцо , содержащее заданное множество :

(13)

Если – подкольцо кольца, то .