Определение. Подмножество кольца называется подкольцом кольца и обозначается , если является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце .
В каждом кольце , очевидно, существуют следующие подкольца:
· само кольцо ;
· нулевое кольцо , где .
Для выяснения, является ли данное подмножество кольца подкольцом этого кольца, можно воспользоваться следующей теоремой.
Теорема. Для того, чтобы непустое подмножество кольца было его подкольцом, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:
(10)
(– подгруппа аддитивной группы кольца );
(11)
(– подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца ).
Доказательство. Докажем необходимость условий.
Предположим, что - подкольцо кольца .
Пусть и – произвольные элементы подмножества .
Тогда каждый из элементов
кольца содержится в :
если бы по крайней мере один из них не содержался бы в , то подмножество не было бы кольцом относительно операций, определенных на , и, следовательно, не было бы подкольцом кольца .
Докажем достаточность условий. Предположим, что подмножество удовлетворяет условиям теоремы.
Тогда в подмножестве определено понятие суммы и произведения, т.е. на подмножестве определены операции сложения и умножения.
Эти операции на подмножестве ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом:
Нулевой элемент 0 содержится в и для обратный (противоположный) элемент .
Действительно, пусть – произвольный элемент подмножества .
Тогда т.е. и , т.е. .
Таким образом, подмножество является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных на и, следовательно, является подкольцом кольца .
Примеры. 1. Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел – .
2. Кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел – .
3. Кольцо рациональных чисел и кольцо , где, как и ранее, – множество чисел вида , являются подкольцами кольца действительных чисел – .
Для любого семейства подколец произвольного кольца справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пересечение любого семейства подколец кольца является подкольцом кольца :
. (12)
Доказательство. Нулевой элемент 0 кольца содержится в каждом из подколец, и, следовательно, содержится в их пересечении.
Если – кольцо с единицей, то каждое подкольцо кольца также будет содержать единицу кольца, и, следовательно, и их пересечение будет содержать единицу кольца.
Пусть – произвольные элементы, принадлежащие . Элементы и , очевидно, содержатся в каждом из подколец .
По определению кольца, элементы и также содержатся в каждом из подколец , следовательно – удовлетворяет аксиомам кольца и является подкольцом кольца .
Пусть, как и ранее, произвольное множество содержится в каждом из подколец кольца :
тогда можно определить минимальное подкольцо , содержащее заданное множество :
(13)
Если – подкольцо кольца, то .