Кольцо классов вычетов
Важнейшие типы колец
Пусть – аддитивная группа целых чисел, а – подгруппа целых чисел, делящихся на без остатка.
Ранее мы показали, что разбиение группы по подгруппе определяет фактормножество
, (14)
элементы которого являются классы вычетов по модулю
т.е. левые смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе
где .
На множестве – классов вычетов по модулю определены операции сложения и умножения
по модулю :
(15)
(16)
Так как выполнение этих операций сводится к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, т.е. над элементами из m,
то будет коммутативным кольцом с единицей .
Определение. Кольцо называется кольцом классов вычетов по модулю m.
Вводя обозначения при фиксированном m, операции сложения и умножения можно записать в сокращённой форме:
(17)
(18)
При записи операций сложения и умножения на классе вычетов по модулю можно отказаться и от чёрточек и кружочков и оперировать с каким-либо фиксированным множеством представителей классов вычетов по модулю m.
|
|
Чаще всего в качестве такого множества представителей выступает множество , – которое называется приведенной системой вычетов по модулю m.
Пусть , тогда таблицы Кэли для операций сложения и умножения в кольце имеют вид:
. | ||||||||
Кольцо классов вычетов по модулю играет в алгебре важную роль и служит отправным пунктом для многочисленных обобщений.
Пусть – произвольное кольцо с единицей .
Как было показано ранее, для любого элемента выполняются равенства:
.
Отсюда следует, что нулевой – 0 и единичный – элементы являются различными элементами кольца.
Если для элемента в кольце существует обратный элемент , то он единственный, для которого выполняется условие
.
Единичный элемент кольца является обратным для самого себя:
.
Из равенства
следует, что элемент также является обратным для самого себя.
Нулевой элемент 0 кольца не имеет обратного элемента, поскольку
, для любого элемента .
Определение. Элемент , для которого в кольце существует, и притом только единственный, обратный элемент , называют обратимым или делителем единицы.
Кольцо целых чисел является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и –1 являются делителями единицы .
Теорема. Множество всех делителей единицы кольца является группой по умножению.
Доказательство. Действительно, если , т.е. являются делителями единицы кольца , то
и, следовательно,
.
|
|
А это означает, что и также являются делителями единицы и, следовательно, содержатся в множестве . Поэтому множество является группой по умножению.
Определение. Группа называется группой делителей единичного элемента кольца .
Так как для любого элемента выполняется равенство
,
то по определению делителей элементов кольца, каждый элемент является делителем нуля.
В теории колец для произвольных элементов используют следующее определение делителей нуля.
Определение. Элементы называются делителями нуля, если , а ; при этом называют левым, а – правым делителем нуля.
Пример. 1. В кольце классов вычетов по mod m существуют делители нуля:
в кольце классов вычетов по mod 6 :
,
в кольце классов вычетов по mod 4 :
.
2. В кольце квадратных матриц второго порядка также существуют делители нуля:
пусть ,
тогда .
Определение. Кольцом (областью) целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля.
Пример. 1. – кольцо целых чисел является кольцом целостности.
2. Кольцо является кольцом целостности в том и только в том случае, если – простое число.
Рассмотрим произвольное кольцо .
Если , и , т.е. кольцо не содержит делителей нуля, то такое кольцо называется телом.
Более строго.
Определение. Кольцо K, в котором для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называется телом.
Тело не содержит делителей нуля, т.е. если и – тело, то, если .
Это означает, что отличные от нуля элементы тела образуют полугруппу по умножению.
Более того, т.к. тело содержит единичный элемент и для каждого отличного от нуля элемента в теле существует обратный элемент, то элементы тела, отличные от нуля образуют группу по умножению.
Примеры. 1. Тело рациональных чисел . Действительно, если
,
где .
Если .
Важно, чтобы обратный элемент .
Для любого целого числа, например , обратный элемент существует и равен , но он не принадлежит .
2. Тело вещественных чисел.
3. Тело комплексных чисел.
Кольцом целостности, с которым наиболее часто приходится встречаться, является кольцо целых чисел .
В теории колец особую роль играют кольца, которые по своим свойствам достаточно близки к кольцу целых чисел.