2014-02-13
2270
Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.
Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени 
от одной переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида
, (23)
где 
.
Элементы 
называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.
Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.
Находим наибольшее 
, такое, что 
, скажем 
и запишем
(24)
Степенью многочлена 
называется число 
, если оно существует.
Если же все обращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0.Число 
по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена неопределенна.
Степень многочлена обозначается 
(дигри).
В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты 
, различаются следующие типы многочленов:
· с булевыми коэффициентами 
;
· с целочисленными коэффициентами 
;
· с вещественными коэффициентами 
;
· с рациональными коэффициентами 
;
|
|
|
· с комплексными коэффициентами 
.
Пусть и 
- два многочлена:
Определение. Многочлены 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
, при которых 
определены, а все остальные , равны нулю.
Обозначение 
.
Из определения равенства многочленов следует:
1.Нулевой многочлен равен только нулевому многочлену.
2.Для ненулевых многочленов
равенство означает, что
=
=m и :.
Замечание. Равенство многочленов определённое таким образом означает тождественное или формальное равенство в отличие от равенства многочленов как функций.
Множество всех многочленов от переменной x с вещественными переменными обозначим 
.
Тогда
,=m.
На множестве всех многочленов от переменной x с вещественными переменными определены две алгебраические операции –сложение и умножение многочленов.
Пусть имеется два многочлена степени 
и степени 
.
Определение. Суммой двух многочленов и называется многочлен
(25)
где 
и
(26)
Из определения суммы многочленов следует:
1.Для любого многочлена
:+0=0+;
2. Для ненулевых многочленов и
:
(,
);
3.Если
, 
,то 
т. е. операция сложения многочленов и является алгебраической операцией на множестве всех многочленов .
Определение. Произведением двух многочленов и называется многочлен
, (27)
где 
.
Замечание. Суммированиев
ведётся по всем индексам i и j, для которых i+j=k.
Из определения умножения многочленов следует:
1. Произведение ненулевых многочленов не может быть нулевым, при этом
=+
2. Если , 
, то 
, т.е. умножение многочленов является алгебраической операцией на множестве 
.
|
|
|
3. Операция умножения многочленов с вещественными коэффициентами порождает операцию умножения многочлена на число из 
как частный случай умножения многочленов. Если 
, то
Теорема. Множество всех многочленов с коэффициентами из является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.
Доказательство. Проверим все аксиомы кольца.
1. 
- аддитивная абелева группа. Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (2). Нулем является нулевой многочлен. Противоположным (обратным) к многочлену 
является многочлен 
.
2. 
- моноид (полугруппа с единицей).
2.1. Коммутативность умножения следует из определения.
2.2. Докажем ассоциативность умножения.
Пусть 
, 
, 
Рассмотрим произведение многочленов
= 
, где 
= 
, где 
=
,
где 
= 
= 
= 
, где =
= =
Учитывая, что
,
операция умножения многочленов из - ассоциативна.
2.3 Роль единицы при умножении многочленов играет число
1, рассматриваемое как многочлен нулевой степени.
2.4 Справедливость аксиом дистрибутивности вытекает из
равенства
, (3)
так как левая часть равенства (3) является коэффициентом при 
в многочлене
,
а правая часть - коэффициентом при в многочлене
.
Замечание. Произведение многочленов и может быть получено обычным для элементарной алгебры перемножением двух сумм
с последующей группировкой одночленов одинаковых степеней.
