Кольцо многочленов. Пусть K – некоторое коммутативное кольцо

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от одной переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

, (23)

где .

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что , скажем и запишем

(24)

Степенью многочлена называется число , если оно существует.

Если же все обращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0.Число по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена неопределенна.

Степень многочлена обозначается (дигри).

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

· с булевыми коэффициентами ;

· с целочисленными коэффициентами ;

· с вещественными коэффициентами ;

· с рациональными коэффициентами ;

· с комплексными коэффициентами .

Пусть и - два многочлена:

Определение. Многочлены и равны тогда и только тогда, когда , при которых определены, а все остальные , равны нулю.

Обозначение .

Из определения равенства многочленов следует:

1.Нулевой многочлен равен только нулевому многочлену.

2.Для ненулевых многочленов

равенство означает, что

==m и :.

Замечание. Равенство многочленов определённое таким образом означает тождественное или формальное равенство в отличие от равенства многочленов как функций.

Множество всех многочленов от переменной x с вещественными переменными обозначим .

Тогда

,=m.

На множестве всех многочленов от переменной x с вещественными переменными определены две алгебраические операции –сложение и умножение многочленов.

Пусть имеется два многочлена степени и степени .

Определение. Суммой двух многочленов и называется многочлен

(25)

где и

(26)

Из определения суммы многочленов следует:

1.Для любого многочлена

:+0=0+;

2. Для ненулевых многочленов и

:(,);

3.Если

, ,то

т. е. операция сложения многочленов и является алгебраической операцией на множестве всех многочленов .

Определение. Произведением двух многочленов и называется многочлен

, (27)

где .

Замечание. Суммированиев

ведётся по всем индексам i и j, для которых i+j=k.

Из определения умножения многочленов следует:

1. Произведение ненулевых многочленов не может быть нулевым, при этом

2. Если , , то , т.е. умножение многочленов является алгебраической операцией на множестве .

3. Операция умножения многочленов с вещественными коэффициентами порождает операцию умножения многочлена на число из как частный случай умножения многочленов. Если , то

Теорема. Множество всех многочленов с коэффициентами из является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

Доказательство. Проверим все аксиомы кольца.

1. - аддитивная абелева группа. Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны (2). Нулем является нулевой многочлен. Противоположным (обратным) к многочлену является многочлен .