Характеристика кольца с единицей

Выясним какие идеалы есть в простейшем кольце – кольце целых чисел . Любое целое число порождает главный идеал . Такими идеалами исчерпывается множество всех идеалов кольца , поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый идеал кольца целых чисел является главным идеалом.

Доказательство. Пусть – некоторый идеал кольца – целых чисел. Если – нулевой идеал, то . Если же в идеале содержится число , то в нем содержится также и число . Одно из чисел или положительное, поэтому в идеале содержатся натуральные числа. Пусть – наименьшее из натуральных чисел, содержащихся в . Тогда

(3.72)

и, следовательно, .

Докажем и обратное включение. Действительно, пусть – произвольный элемент из идеала кольца . Разделив на , получим Поскольку и , то . Отсюда и из условия следует, что , так как в противном случае не было бы наименьшим среди натуральных чисел, содержащихся в идеале . Таким образом, и, следовательно, . Таким образом

Пусть – кольцо целых чисел, а – произвольное кольцо с единицей . Рассмотрим отображение

(3.73)

вида

Очевидно, что отображение является гомоморфизмом кольца целых чисел в кольцо .

Множество является подкольцом кольца и состоит из всех целых кратных единичного элемента . Это подкольцо будем называть подкольцом, порожденным единичным элементом кольца . В этом случае отображение является гомоморфизмом кольца целых чисел на подкольцо кольца .

Поэтому по теореме о гомоморфизме колец, подкольцо изоморфно фактор-кольцу , где . Поскольку в кольце целых чисел каждый идеал главный, то , где – некоторое неотрицательное число. Возможны два случая:

· . Тогда т.е. подкольцо изоморфно кольцу целых чисел;

· . Тогда т.е. подкольцо изоморфно кольцу классов вычетов по модулю .

Следовательно, в любом кольце с единицей подкольцо порожденное элементом , изоморфно или кольцу целых чисел или кольцу классов вычетов по модулю : , где – некоторое натуральное число. Пусть – некоторое кольцо с единицей .

Определение. Характеристикой кольца называется порядок подгруппы, порожденной единицей в аддитивной группе кольца .

Замечание. В случае, если группа порожденная единицей кольца, бесконечна, принято говорить, что кольцо имеет характеристику нуль, а не бесконечность. Числовые кольца , , , имеют характеристику нуль, а кольцо классов вычетов по модулю : имеет характеристику .

Определение. Кольцо имеет характеристику 0, если его подкольцо порожденное единичным элементом , изоморфно кольцу целых чисел .

Определение. Кольцо имеет характеристику если его подкольцо изоморфно кольцу классов вычетов по модулю .

По определению, кольцо целых чисел имеет характеристику 0, а кольцо – классов вычетов по модулю имеет характеристику .

Замечание. Наряду с высказыванием «кольцо имеет характеристику 0 (или )» применяют также высказывания «характеристика кольца равна 0 (или р)», «является кольцом характеристики 0 (или р)»

Теорема. Если кольцо имеет характеристику 0, то только при ; если же имеет характеристику , то и нет такого натурального числа , что .

Доказательство. Пусть — кольцо характеристики 0 Тогда существует изоморфное отображение подкольца на кольцо – целых чисел. Поскольку по теореме 6 при гомоморфизме (в частности, изоморфизме) кольца на кольцо , то . Поэтому только при , ибо если , то , по теореме 6, равно 0, т. е. .

Предположим, что — кольцо характеристики р. Тогда существует изоморфное отображение кольца на подкольцо . По теореме 6, , где , и поэтому . Поскольку и по теореме 6 , то . Если , то , а поэтому и , так как в противном случае отображение было бы гомоморфизмом, а не изоморфизмом.

Справедлива также и обратная теорема.

Теорема. Если в кольце с единицей равенство справедливо только при , то имеет характеристику 0; если в кольце справедливо равенство и нет такого натурального , что , то имеет характеристику р.

Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм , для которого . По теореме о гомоморфизмах колец , где — ядро гомоморфизма . Если в равенство справедливо только при , то при гомоморфизме в нуль кольца отображается только 0 кольца ; поэтому и, следовательно, , т. е. . Если в кольце справедливо равенство и нет такого натурального , что , то при гомоморфизме в ноль кольца отображаются все целые кратные числа и только они; поэтому и .

Из теорем 9 и 10 вытекает следующее определение.

Определение. Характеристикой кольца с единицей называют число 0, если только при ; характеристикой кольца называют натуральное число , если и нет такого натурального числа , что .

Все числовые кольца с единицей, очевидно, имеют характеристику 0. Каждое конечное кольцо с единицей является кольцом ненулевой характеристики. Действительно, если кольцо конечно, то среди всех целых положительных кратных единичного элемента обязательно будут кратные, равные между собой, так как в противном случае кольцо было бы бесконечным. Пусть. , где и – некоторые натуральные числа, причем . Тогда и, следовательно, является кольцом ненулевой характеристики.

Каждое натуральное число является характеристикой некоторого кольца с единицей: является характеристикой кольца . Докажем теперь две теоремы, которые характеризуют свойства колец характеристики 0 и характеристики .

Теорема. Если является областью целостности характеристики 0, то

Доказательство. Пусть – произвольно выбранный, отличный от 0, элемент из и – любое натуральное число. Тогда

Предположим, что , тогда и . Поскольку в нет делителей нуля и по условию теоремы , то из равенства вытекает, что , чего не может быть. Следовательно,. предположение, что , неправильное. Таким образом, для любого натурального имеем . При любом целом отрицательном также , ибо если бы элемент кольца был равен нулю, то и противоположный ему элемент также был бы равен нулю, чего по доказанному выше не может быть.

Теорема. Если – кольцо характеристики , то

Доказательство. Действительно,

Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов кольца целостности в кольце существует такой элемент , что , то говорят, что элемент делится на , и пишут или делит , и пишут , или .

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент делится на любой делитель единицы . Действительно, если – делитель единицы, то и – также делитель единицы, а это означает, что , тогда и, следовательно, .

6. Если делится на , то делится и на , где – любой делитель единицы.

Действительно, из равенства следует равенство и, следовательно, .

7. Каждый элемент из делителей и , где – любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства следует равенство , а из равенства – равенство . Следовательно, если , то , и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными, если каждый из них является делителем другого:

. (55)

Из равенства (55) следует, что . Отсюда, сократив обе части полученного равенства на , получаем . Следовательно, и являются делителями единицы. Таким образом, если и – ассоциированные элементы, то , где – некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы , элементы и ассоциированные между собой, поскольку .

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными, если , где – некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел ассоциированными являются пары чисел .

Если и ассоциированные элементы кольца целостности, то . Отсюда следует, что – главный идеал, порожденный элементом является подмножеством – главного идеала, порожденного элементом и наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента , кольца целостности порождают один и тот же главный идеал.

Пусть – произвольные элементы кольца целостности .

Определение. Элемент называется общим делителем элементов и , если каждый из этих элементов делится на .

По свойству 5 все делители единицы кольца целостности являются общими делителями элементов и . Но у элементов и могут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называют наибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисел и , а именно: НОД двух чисел и называется такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности .

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов кольца целостности называется такой элемент , обозначаемый символом и обладающий двумя свойствами:

1. ;

2. .

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если – НОД элементов , то формально это записывается в виде или . Если также и , то элементы и делятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если , то, очевидно, , где – любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов определяется с точностью до сомножителя , который является делителем единицы.

С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Свойство 6. позволяет распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов кольца целостности .

По аналогии с вводится дуальное понятие наименьшего общего кратного элементов кольца целостности определенного с точностью до ассоциированности и обладающее также двумя свойствами:

;

В частности, полагая , получаем, что .

Теорема. Если для элементов кольца целостности существуют и . Тогда

а) ;

б) , .

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения . Для доказательства б) необходимо убедиться, что элемент , определенный равенством , обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно, из , следовательно , откуда после сокращения на , допустимого в любом кольце целостности , имеем , т.е. . Аналогично , т.е. . Этим доказано свойство 1. Для доказательства свойства 2. Представим . Положим . Тогда – общее кратное элементов и . Согласно свойству для некоторого , откуда , т.е. и , что и требовалось доказать.

Определение. Элементы кольца целостности называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если НОД.

Пусть – произвольный делитель единицы, и – произвольный элемент кольца целостности . Тогда из условия следует, что . Это означает, что все элементы ассоциированные с элементом , и все делители единицы являются делителями элемента . Их называют тривиальными или несобственными делителями элемента . Все делители отличные от и , если такие существуют в , называются нетривиальными, или собственными делителями элемента .

Пример. В кольце целых чисел тривиальными делителями числа 10 являются числа и , а нетривиальными – числа и .

Определение. Элемент кольца целостности называется неразложимым, или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент называется разложимым, или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Другими словами, элемент называется разложимым, если его можно представить в виде произведения двух нетривиальных делителей ; элемент – называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух нетривиальных делителей.

Пример. В кольце целых чисел неразложимыми являются числа т.е. простые числа и противоположные простым. Все остальные числа отличные от , – разложимы.

Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:

· если элемент кольца целостности неразложимый, то и любой ассоциированный с ним элемент также неразложимый;

· если – произвольный элемент кольца целостности , а – неразложимый элемент из , то или делится на , или и – взаимно простые элементы из .

Действительно, первое свойство следует непосредственно из свойства 7 делимости элементов кольца целостности. Второе свойство докажем следующим образом. Если НОД, то как делитель неразложимого элемента , является либо некоторым делителем единицы , либо элементом вида . В первом случае элементы и взаимно простые, во втором – делится на .

Определение. Кольцо целостности называется кольцом с однозначным разложением на простые множители (или факториальным кольцом), если любой элемент из можно представить в виде:

, (46)

где обратный элемент, а – простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения

следует, что и при надлежащей нумерации элементов и будет

,,…,,

где – обратные элементы в . Допуская в разложении (46) , мы принимаем соглашение, что обратимые элементы в кольце целостности также имеют разложение на простые множители. Ясно, что если – простой, а обратный элемент в , то ассоциированный с элемент тоже простой.

Пример. В кольце целых чисел с обратимыми элементами и отношение порядка дает возможность выделить положительное простое число из двух возможных простых элементов .

Теорема. Пусть – произвольное кольцо целостности с разложением на простые множители. Однозначность разложения в (факториальность ) имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент , делящий произведение , делит по крайней мере один из сомножителей или .

Доказательство. Пусть . Если

разложения на простые множители, а – кольцо с однозначным разложением, то из равенств следует, что элемент ассоциирован с одним из или , т.е. делит или .

Обратно, установим однозначность разложения в , где или . Рассуждая по индукции, допустим, что разложение всех элементов из с числом простых множителей единственно (с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности).

Докажем теперь это для любого элемента , который может быть разложен на простых сомножителей. Именно, пусть

(47)

– два разложения элемента с .

Условие теоремы, примененное к дает нам, что должен делить один из элементов . Без ограничения общности (это вопрос нумерации) будем считать, что . Но – простой элемент, поэтому , где – обратимый элемент. Используя закон сокращения в , получаем из (41) равенство

. (48)

В левой части равенства (42) стоит произведение простых сомножителей. По предположению индукции и оба разложения отличаются лишь порядком простых элементов, снабженных, возможно, какими–то обратимыми сомножителями.

Замечание. В произвольном кольце целостности элемент вообще не обязан допускать разложение типа (40). Более интересным является тот факт, что имеются кольца целостности, в которых разложение на простые множители хотя и возможно, но не является однозначным, т.е. условия теоремы, кажущиеся тривиальными не всегда выполняются.

Пример. Рассмотрим кольцо целостности , где .

Норма каждого отличного от нуля элемента – целое положительное число. Если элемент обратим в , то , откуда . Это возможно лишь при . Таким образом в , как и в 1, обратимыми элементами являются только . Если , то . Так как , то при заданном число множителей не может неограниченно расти. Следовательно, разложение на простые множители в возможно. Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два существенно различных разложения на простые множители:

Неассоциированность элементов 3 и очевидна. Далее, . Поэтому из разложения для или с необратимыми следовало бы , т.е. , что невозможно, поскольку уравнение с неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и .